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数学建模（I）习题
习 题 3
1．一个包裹从100米高的气球上掉下，当时，气球的上升速度为2米/秒，请根据以下两种情况计算包裹落到地面上约需多少时间： （1）空气阻力不计
（2）空气阻力与包裹的速度成正比，阻力系数为0.05。
2．大气压强p可用对海拔高度h的变化率dpdh与p成正比来建模，且位于海平面的压强为1013毫巴（大约每平方英尺14.7磅），位于海拔高度20公里处的压强为90毫巴。
(a)解初始值问题:微分方程： dpdh?kp （k是一个常数）
初始条件： p?p0 （当h?0）
得到通过h表示p的表达式。根据海拔高度—压强的给定数据确定p0和k的值。 （b）在海拔高度h?50公里处大气压强是多少?
（c）在海拔高度是多少公里处大气压强等于900毫巴？
3．在某化学反应中，物质的数量随着时间的改变率与其当前的数量成正比。例如，?-醣蛋白内酯变成葡萄糖酸，当时间t以小时为单位时，化学反应方程式是
dydt??0.6y
如果当t?0时，有?-醣蛋白内酯100克，那么一小时后还剩下多少？
4．从惠蒂尔峡谷的油井中抽走了一定数量的石油，会使加利福尼亚的石油产量每年以10%的比率减少。试问什么时候加利福尼亚的石油产量将降到当前值得五分之一？
5．一个放电的电容器，电压的改变率和终端电压成正比，并且时间t以秒为单位时，其满足的方程是
dVdt??140V
解此方程，用V0表示当t?0时的V值。试问经过多长时间电压将降落到初始值得10%？ 6．粗糖的加工过程中，有一个步骤称为转化，这一步骤将改变粗糖的分子结构。反应一旦开始，粗糖量的改变速率和粗糖量成正比，如果1000公斤粗糖在10 小时后只剩下100公斤，那么再过14小时还剩下多少？
7．在海洋表面下方x英尺处的光的强度L(x)满足微分方程
dLdx??kL
潜水者根据经验知道，在加勒比海潜水到18 英尺深时光线强度大约降低到水面上的一半。当光线强度降到水面光线强度的十分之一以下时，人们必须使用人工照明才能工作。试问大约在多深处，没有人工照明仍可以工作？
8．假设在温度是20摄氏度的房间里，一杯90 摄氏度的饮料10 分钟之后冷却到60 摄氏度。应用牛顿冷却定理回答以下问题：
（a）再经过多久后这杯饮料会冷却到35 摄氏度？
（b）如果这杯饮料不是放在房间里，而是放在温度是-5 摄氏度的冰箱里，则要多久时间这杯饮料才能从90摄氏度冷却到35摄氏度？
9．一个煮熟的鸡蛋开始温度为98?C，放入一盆18?C的水里5分钟后温度降为38?C，假定水温一直未变，那么，再过几分钟，鸡蛋的温度可降低到20?C？
10．一根金属杆从寒冷的室外拿到温度保持在18?C的机房里。10 分钟后金属杆的温度上升到0?C，再过10 分钟后到10?C。应用牛顿冷却定理估计这根杆的初始温度。 11．一幅油画据说是Vermeer(1632-1657)画的，它应该仅包含不超过原有96.2%的碳，然而却包含了99.5%。试问此膺品大约是什么年代画的？
12．某人每天由饮食获取2500卡热量，其中1300卡用于新陈代谢，此外每公斤体重每天需支付16卡热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂。已知以脂肪形式储存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量为10000卡，问此人的体重将如何随时间而变化？
13．为了鼓励采购100（单位）某货物的买主，商家销售部门用连续打折的办法促销，以购货数量x（单位），决定所售货物的单价p(x)，（即单价p(x)是购货数量的函数）。假定折扣降价速率为每单位降价0.01 美元，又假设购买100（单位）该货物的单价是
p(100)?20.09美元。
（a）通过解如下初值问题求p(x)： 微分方程：
dpdx??1100p
初始条件：p(100)?20.09
（b）求10（单位）该货物的单价p(10)和90（单位）的单价p(90)。
（c）商家的收入是用r(x)?xp(x)来计算的。如果销售部门问你：这样打折扣是否会出现如下情况，售出100（单位）货物的收入比售出90（单位）货物的收入还要少，你会怎样回答他们。
（d）试证明：当x?100时商家的收入r达到最大值。
14．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？
15. 生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×10）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？
16. 某厂有一设备分成两部分（部件1和部件2），其中部件1保持恒温T1，部件2保持恒
9温T2，两部件间的距离为S，由一根细金属杆相连（一头连部件1另一头连部件2）。金属杆暴露在温度为T3的空气中，求金属杆上的温度分布，（T3?T2?T1）。（注：即求温度函数T(x)，0?x?S，其中x为金属杆离部件1的距离）
17．设病人体内现有的癌细胞数量约为1011个，医生推测其肿瘤的增倍时间约为20周，请为该病人设计一套放疗方案，并说明你制定此方案的理由。
18. 1825年，德国数学家Gompertz也提出了一个有上限的种群增长模型
dNM?rln()N （r和M为两个正常数） dtN该方程等价于
dNN(lnM?lnN)?rdt
试分析Gompertz模型所描述的种群的增长规律并与Malthus模型比较，（提示：Gompertz的方程式是变量可分离的方程）。
19. 若用Gompertz模型来描述肿瘤的生长，请用模型计算出肿瘤的倍增时间。
20. 上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验，并得到了以下数据： 表3.4 时间 体积 0 6 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 0.004 0.031 0.061 0.074 0.103 0.152 0.210 0.339 0.520 0.813 1.269 1.558 请用此实例来检验§3.4中的各个模型。
lg21. 理想单摆周期的近似公式为 T?2?，现将一个摆长l为1米的单摆从g?9.8每秒
每秒米的A处移到B处，发现周期T增加了0.001秒，求B处的重力加速度。
22． 大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你
会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏感性。
23．一名跳伞员从高空跳下，其下落速度满足：此跳伞员落地时的极限速度。
24．某公司的一间容积为90m的会议室里正在开会。开始时会议室里没有一氧化碳（CO），由于有人抽烟，会议室里每分钟将增加0.006m含4%一氧化碳的烟雾。与此同时，会议室的通风设备每分钟也抽换0.006m的空气，求约经过多长时间，会议室里的一氧化碳含量将达到0.01%。
25．某猎场生活着一种供狩猎用的动物。据估计，若动物数量x少于a时该动物有可能绝灭，若动物数量超过b时，该动物会因为环境无法供养它们而减少。 （1）你觉得可用怎样的微分方程了描述该种群的增长。
333dvdt?g?kv。经查资料，k?0.05，求
2 （2）有人建立了如下的微分方程：
dxdt?rx(b?x)(x?a) （比例系数r为常数）
讨论此方程解的性质：如果初始时动物数量x0?a，结果会怎样，x0?a或x0?a结果又会怎样；方程的平衡点有几个，它们的稳定性如何？