发布时间 : 星期四 文章高等数学第12章课后习题答案（科学出版社）更新完毕开始阅读d0331a1d647d27284b7351e8
y1?xex?e2x,是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为
y?xex?e2x?C0e2x?C2e?x?xex?C1e2x?C2e?x，其中C1?1?C0.
(2) 因y?xex?C1e2x?C2e?x ① 所以y??ex?xex?2C1e2x?C2e?x② y???2ex?xex?4C1e2x?C2e?x
从这两个式子中消去C1,C2,即所求方程为y???y??2y?ex?2xex; (3) 在①, ②代入初始条件y(0)?7,y?(0)?6,得 C1?C2?7,2C1?C2?1?6?C1?4,C2?3,
从而所求特解为 y?4e2x?3e?x?xex.
d2y2dysinx4. 已知y1?是方程2??y?0的一个解, 试求方程的通解.
xdxxdx解 作变换y?y1zdx,则有
dy1d2y1d2ydzdy1dy?y1?2z?zdx. ?y1z?zdx,dxdxdxdxdx2dx2???代入题设方程，并注意到y1是题设方程的解,有
y1dz?dy12y1???2??z?0, dx?dxx?将y1代入，并整理,得 C1dz. ??2zcotx?z?2dxsinx故所求通解为
y?y1zdx??sinx?C11?sinxdx?C.?(?Ccotx?C)?(C2sinx?C1cosx). 2?12?x?sin2xxx?其中C1,C2为任意常数.
dy?Cx.从而得到对应齐次方程的通解y?C1x2?C2. dx为求非齐次方程的一个解y?,将C1,C2换成待定函数u1,u2,设y??u1x2?u2,根据常数变易法, u1,u2满足下列方程组
2???1?u2??011?xu1??,u2???x2. ?u1???0?u2??x22??2xu1x31积分并取其一个原函数得u1?x,u2??.于是，题设原方程的一个特解为
62x3x3x3y?u1x?u2?1???.
263*2从而题设方程的通解为
x3y?C1x?C2?.
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习题12-7
1、 求下列微分方程的通解
(1) y″＋3y′＋2y＝0; (2) 3y″＋2y′＝0;
(3) y″＋4y＝0; (4) 4dx/dt－20 dx/dt＋25x＝0;
(5) y???2y??3y?0; (6) y???4y??4y?0; (7) y???2y??5y?0; (8）y???4y??13y?0; (9）y －y＝0;其中??0; （10）y(4)?2y????5y???0;
(4)
2
2
d4w?5??3?（11）4??4w?0; (12) y?2y?y??0;
dx (13) y?2y?y???2y?0; (14) y－2y ＋y″＝0． 答案: (1) y″＋3y′＋2y＝0
(4)
(3)
?6?(4)解 特征方程:r＋3r＋2＝0． 即：（r＋1）(r＋2) ＝0得特征根: r1＝-1, r2＝-2 所以线性无关的特解为: y1＝e ,y2＝e
(2) 3y″＋2y′＝0
解 特征方程: 3r＋2r＝0． 即: r(3r＋2) ＝0． r1＝0, r2＝-2/3． 所以 y＝C1e＋C2e
(3) y″＋4y＝0
解 特征方程: r＋4＝0, r＝±2i, 所以y＝C1cos2x＋C2sin2x． (4) 4dx/dt－20 dx/dt＋25x＝0．
解 分析此题t 为自变量,x是t的函数,依然是二阶常系数齐次方程． 特征方程: 4r－20r＋25＝0． 即(2r－5)＝0, r1＝r2＝5/2． 所以x＝(C1＋C2t) e
5t/2
2
2
2
2
2
0x
-2/3x
2
-x
-2x
2
． 所以方程的通解为: y＝C1e＋C2e
-x-2x
＝C1＋C2e
-2/3x
为所求．
(5)求方程y???2y??3y?0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为r2?2r?3?0,
其根r1??1,r2?3是两个不相等的实根，因此所求通解为y?C1e?x?C2e3x.
(6）求方程y???4y??4y?0的通解.
解 特征方程为r2?4r?4?0,解得r1?r2??2,故所求通解为y?(C1?C2x)e?2x.
(7）求方程y???2y??5y?0的通解.
解 特征方程为r2?2r?5?0,解得r1,2??1?2i,故所求通解为
y?e?x(C1cos2x?C2sin2x).
(8)求方程y???4y??13y?0的通解．
解 特征方程为 r?4r?13?0． 特征根为 r1?2?3i， r2?2?3i． 所以原方程的通解为
(9) y
(4)
2 y?e(C1cos3x?C2sin3x)．
－y＝0．
4
2
2x解 特征方程: r－1＝0． (r＋1)( r－1)( r＋1）＝0． r1．2＝±i, r3＝1, r4＝-1． 所以y＝C1cosx＋C2sinx＋C3e＋C4e为所求．
（10）求方程y(4)?2y????5y???0的通解.
解 特征方程为r4?2r3?5r2?0,即r2(r2?2r?5)?0, 特征根是r1?r2?0和r3，4??1?2i,因此所给微分方程的通解为
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x).
x
-x
d4w（11）求方程4??4w?0的通解, 其中??0.
dx解 特征方程为r4??4?0.由于
r4??4?r4?2r2?2??4?2r2??(r2??2)2?2r2?2?(r2?2?r??2)(r2?2?r??2),
特征方程为(r2?2?r??2)(r2?2?r??2)?0,特征根为r1,2?因此所给方程的通解为
??2(1?i),r3,4???2(1?i),
w?e
2x????x?C2sinx??C1cos??e22?????2x?????Ccosx?Csinx?4?3?.
22??(12) y?5??2y?3??y??0;
解 特征方程为r5?2r3?r?0,即r(r2?1)2?0,特征根r1?0,r2?r3?i,r4?r5??i,
通解为y?C1?(C2?C3x)cosx?(C4?C5x)sinx. (13)y?6??2y(4)?y???2y?0.
解 特征方程为r6?2r4?r2?2?0,即(r2?2)(r4?1)?0, 特征根r1?2,r2??2,r3?1,r4??1,r5?i,r6??i, 通解为y?C1e(14) y
(4)
2x?C2e?(3)
2x?C3ex?C4e?x?C5cosx?C6sinx.
－2y ＋y″＝0
3
2
2
2
2
2
解 特征方程: r－2r＋r＝r(r－2r＋1) ＝r(r－1)＝0 r1＝r2＝0． r3＝r4＝1． 所以 y＝C1＋C2x＋(C3＋C4x)e为所求．
说明 解二阶常系数齐次线性方程: y″＋py′＋qy＝0时,必须能正确的写出特征方程,求出特征根,尽而求得通解．(5)(6)是四阶常系数齐次方程．通解中应含有4个独立的任意常数．
x
4
2. 设函数??x?连续且满足:
??x??e??t??t?dt?x???t?dtx00xx 求??x?．
分析 此题未知函数Q(x)出现在积分号内,这样的方程称为积分方程．在积分方程中,令x适当取值,可以得出未知函数满足的初始条件，利用变上限定积分的导数公式，还可以得到未知函数满足的微分方程．从而可以把求未知函数的问题化为求微分方程满足初始条件的特解的问题．
解 记:
??x??ex??t??t?dt?x???t?dt00xx 为(1)，方程两边求导,得:
x?'?x??ex?x??x?????t?dt?x??x?0 (2)
xx
再求导得: ?″(x)＝e－?(x)． 即?″(x)＋?(x)＝e． 这是二阶常系数非齐次方程．当x＝0 x
时． 由(1)得: ?(0)＝1; 由(2)式, 当x＝0 时,得: ?′(0)＝1． 此题转化为求?″(x)＋?(x)＝e 满足?(0)＝1, ?′(0)＝1的特解．
2
由特征方程 r＋1＝0． r＝±i． ?(x)＝C1cosx＋C2sinx．
???x??Aex,???x??Aex ?'?''(x＝Ae
x
x
代入 ?″(x)＋?(x)＝e