发布时间 : 星期六 文章§17.3 方向导数与梯度 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文更新完毕开始阅读cea4ffe45a8102d277a22f9c
§3 方向导数与梯度
?f(P)?f(P0)???fx(P0)?x??fy(P0)?y??fz(P0)?z??o(?)??fx(P0)cos??fy(P0)cos??fz(P0)cos??o(?)?.因为lim?o(?)??0,所以上式左边的极限存在:??0?f?(P)?limf(P)?f(P)??00l???0?fx(P0)cos??fy(P0)cos??fz(P0)cos?.对于二元函数f(x,y)来说, 相应于(1) 的结果为
f?(x,y)?f(x,y)cos??f(x,y)cos?,(2)00x00y00l??2?,?是R中向量l的方向角．其中
数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社§3 方向导数与梯度
例1 设f(x,y,z)?x?y?z,求f在点P0(1,1,1)处 沿着指向点P1(3,?1,2)方向的方向导数.解易见f在点P0可微.故由fx(P0)?1,fy(P0)?2,fz(P0)?3,??????以及l?P0P1?(2,?2,1)的方向余弦?????pp0?i22cos??????,??2223pp02?(?2)?1???????????pp0?j?2pp0?k1cos?????,cos?????????,33pp0pp023按公式(1) 可求得2211??f?(P)?1??2???3??.??0l333?3?数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社§3 方向导数与梯度
例2 设函数
?1,当0?y?x,???x???时,f(x,y)???0,其余部分.2已知它在原点不连续(当然也但在始于原点的就不可微)．
任何射线上, 都存在包含原
点的充分小的一段,在这一段上f 的函数值恒为零.
?于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方向l?(0,0)?0.f都有l数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社§3 方向导数与梯度
说明(i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件；
(ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件, 当然也非充分条件( 对此读者应能举出反例)．
定义2若f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)存在对所有自变量的偏导数, 则称向量(fx(P0),fy(P0),fz(P0))为函数f在点P0的梯度,记作gradf(P0)?(fx(P0),fy(P0),fz(P0)).gradf(P0)的长度(或模) 为 |gradf(P0)|?高等教育出版社fx(P0)?fy(P0)?fz(P0).222数学分析第十七章多元函数微分学