发布时间 : 星期日 文章5.3不等式的证明更新完毕开始阅读ce75d95f4b73f242336c5f85
三、数学应用
例1 已知a＞0，b＞0，求证：
ab??2 ba分析：利用基本不等式
小结：算术平均数与几何平均数定理
a?b
a、b均为正数，则?ab（当且仅当a?b时等号）2
我们经常利用它们来求函数的最值，但需要记牢定理的条件“一正二定三相等”。 变：已知x、y都是正数，且x + 2y = 1，求证：?1x1?3?22 y证明：
?x、y都是正数，且x?2y?1
11112yx???(x?2y)(?)?1???2 xyxyxy
2yx?3?2??3?22 xy 2yx当且仅当?,即x?2y，y?2－1时等号成立 xy
11 ???3?22xy
3322
例2设a＞0,b＞0,求证：a ＋b≥ab＋ab
不等式证明时有时需灵活地采用比较法、综合法、分析法。 例3 已知a,b,m都是正数，并且a＜b，求证：
a?ma?. b?mb方法一：分析法 方法二：综合法 方法三：比较法
证明：因为a,b,m都是正数，所以b(b＋m)＞0
因为a＜b，所以b －a＞0，所以m(b－a)＞0 所以 所以
a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)????0 b?mbb(b?m)b(b?m)a?ma? b?mbb?x?(a?x)b?aa?x??0 ，因为a＜b，所以f'(x)?b?x(b?x)2(b?x)2方法四：构造函数法 证明：构造函数f(x)? 所以函数f(x)?
a?x在区间(－∞,b)和(b,＋∞)上都是增函数。 b?x5
因为m是正数，所以f(m)＞f(0)，即方法五：反证法 证明：假设
a?ma? b?mba?ma?，因为a,b,m都是正数，所以b(a+m)≤a(b+m),所以bm≤am,即b?mbb≤a，这与已知a＜b矛盾，故假设不成立，所以b(a+m)≤a(b+m).
例4 证明：通过水管放水，当流速相同时，证明：如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
分析：当水管的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小。设截面周长为L，
2
则周长为L的圆的半径为L/2π，截面积为π(L/2π)；周长为L的正方形边长为L/4,截
2
面积为(L/4)。所以本题只需证明
2 L2?L??()??? 2??4?2
证明：设截面周长为L，则周长为L的圆的半径为L/2π，截面积为π(L/2π)；周长为L
2
的正方形边长为L/4,截面积为(L/4)。所以本题只需证明 2LL?L2L2??2 ?()???,为了证明上式成立，只需证明＞22?4164???
2
两边同乘以正数1/L，得1/π＞1/4 因此，只需证明 4＞π 上式是成立的，所以 ?(L)2??L?2??2??4?
22222
例5已知a,b,c,d∈R,证明：(a+b)(c+d)≥(ac+bd) 分析：比较法
333
例6已知a,b,c都是正数，求证：a+b+c≥3abc,并指出等号成立的条件. 分析：因为a,b,c都是正数，
3333322
所以a+b+c－3abc＝(a+b)+c―3ab―3ab―3abc
22
＝(a+b+c)[(a+b)－(a+b)c+c]－3ab(a+b+c)
222
＝(a+b+c)(a+b+c―ab―ac―bc)
＝
3
1222
(a+b+c)[(a―b)+(b―c)+(c―a)]≥0 23
3
所以a+b+c≥3abc,当且仅当a＝b＝c时等号成立. 四、总结提炼
数学思想方法：等价转化，综合法、分析法、比较法、反证法、构造函数法 五、作业：P20 习题5.3 4、5、6
6
第三课时 证明不等式的方法——反证法和放缩法 学习目标
（1）系统地掌握不等式证明的常用方法
（2）理解放缩法、函数性质法、反证法证明不等式的原理和思维特点 （3）针对不同条件，灵活选用方法，培养发散思维能力 教学过程
一、设置情境
前面我们已学过不等式证明的三种常用方法：比较法、综合法、分析法，在证明不等式的性质5时还用了反证法。回想一下反证法证明数学命题的步骤：反设结论→找出矛盾→肯定结论。这节课我们一起学习证明不等式的其它方法。 二、数学应用
33
例1 已知a + b = 2,求证：a + b ≤2 证明：假设a + b ≥2,则b > 2－a
332222
∵a － b = (a － b)(a +ab + b ) = (a －b)[(a + b/2) + 3b/4]
33
∴a － b与a－b的符号一致
33
即a > b 时有a > b 3323∴b > (2－a) = 8－12a + 6a－a 3322
∴a + b > 8－12a + 6a = 6(a－1) + 2 ≥2
3333
即a + b > 2这与a + b = 2矛盾 ∴a + b ≤2
小结：⑴在直接证明不等式有困难时，可以考虑用反证法。在用反证法证明不等式时，应严格按照步骤进行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证现象。
33
在利用“若a > b，则a > b”证题时，必需先加以证明。 ⑵反证法常用于证明
①难于直接使用已知条件导出结论的命题 ②唯一性命题
③“至多”或“至少”性命题 ④否定性或肯定性命题
2
例2 设二次函数f(x)＝x+px+1，求证：|f(1)|，|f(－1)|中至少有一个不小于2. 证明：假设|f(1)|，|f(－1)| 都小于2 ，则|f(1)|＋|f(－1)|＜4. 另一方面，由绝对值不等式的性质，有
|f(1)|＋|f(－1)|≥|f(1)＋f(－1)|＝|1＋p＋1＋1－p＋1｜＝4. 所以假设不成立，|f(1)|，|f(－1)|中至少有一个不小于2.
1111例3若n是大于1的自然数，求证：2?2?2?????2?2.
123n ●看到分式求和，你能想到什么熟悉的问题？ 数列求和，将每一项折成两项的差
1k2?111??
k(k?1)k?1k7
1111例4已知n是大于2的自然数，求证：1?????????3.
11?21?2?31?2?3?????n证明：因为当k是大于2的自然数时，
111??k?1，
1?2?3?????n1?2?2?????221111 所以1?? ??????11?21?2?31?2?3?????n111 ?1?1??2?????n?1?2221?12n?3?1?3
n?1121?2小结：由上面两个例子可以看出，利用放缩法证明不等式A＜B成立，可以考虑将A适度放大成A≤C，且容易证明C＜B；或者将B适度缩小成B≥C，且容易证明A＜C. 贝努利不等式：
n
对于任何x＞0，当n是任何大于1的实数时，(1＋x)＞1＋nx. 三、回顾总结
数学思想方法：等价转化，反证法、放缩法
四、作业：P20 习题5.3 10、11、12、13、14
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