发布时间 : 星期四 文章2019年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市中考数学试题(含答案)更新完毕开始阅读cc9acd1d03d276a20029bd64783e0912a3167c14
25．（12分）（2019?仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式； （2）当BQ=AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 2分析： （1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即得解析式． （2）BQ=AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值． （3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性． 2解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c， ∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点， ∴，
解得 ， ∴y=﹣x﹣x+2． （2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP， ∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO， ∵AO=BO=2， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OQ=OP=t． ①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t． 2 ∵BQ=AP， ∴2﹣t=（2+t）， ∴t=． ②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t． ∵BQ=AP，
∴t﹣2=（2+t）， ∴t=6． 综上所述，t=或6时，BQ=AP． （3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3﹣3）． 分析如下： ∵AQ⊥BP， ∴∠QAO+∠BPO=90°， ∵∠QAO+∠AQO=90°， ∴∠AQO=∠BPO． 在△AOQ和△BOP中， ， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OP=OQ， ∴△OPQ为等腰直角三角形， ∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上， ∵直线y=x垂直平分PQ， ∴M在y=x上，设M（x，y）， ∴， 时，抛物线上存在点M（﹣3，解得 或 ， ∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）． ①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D， 则有PD=|1﹣t|，MP=1+|1﹣t|=t﹣2t+2，PQ=2t， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， 22222
∴t+2t﹣2=0， ∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）． ②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E， 2 则有PE=3+t，ME=3， 222222∴MP=3+（3+t）=t+6t+18，PQ=2t， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， 2∴t﹣6t﹣18=0， ∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）． 综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形． 点评： 本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握．