发布时间 : 星期五 文章2019年湖南省益阳市中考数学试卷 含答案解析更新完毕开始阅读cb259a2c12a6f524ccbff121dd36a32d7275c755
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM， ∴S△OME＝S△OBM， ∴S四边形OMAD＝S△OBM；
（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1， 解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5）；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，
由（2）知：点N是PQ的中点，
将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①， 同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3）， 同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②， 联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，）， ∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N（，﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中（3）直接利用（2）的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动． （1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
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（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
【分析】（1）作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝＝2
，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；
四边形OMCD
（2）先求出S△DCM＝6，结合S＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、
OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；
（3）由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得再由OA＝
＝
＝
，据此求得MN＝，ON＝
可得答案．
，AN＝AM﹣MN＝，
及cos∠OAD＝
【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
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∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝AD＝3， ∴点C的坐标为（2，3+2
（2）∵M为AD的中点， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又S四边形OMCD＝∴S△ODM＝， ∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9， ∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝3∴OA＝3
（3）OC的最大值为8， 如图2，M为AD的中点，
（负值舍去）， ；
，
）；
＝2，
∴OM＝3，CM＝∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
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＝5，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴
＝
＝
，即
＝，
＝，
解得MN＝，ON＝∴AN＝AM﹣MN＝， 在Rt△OAN中，OA＝∴cos∠OAD＝
＝
＝
．
，
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．
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