发布时间 : 星期三 文章GPS原理与接收机设计更新完毕开始阅读cb143c75a6c30c2259019e7b
M?n(t?t0)（3.37）
偏近点角E和平近点角M的关系由以下的开普勒方程给出：
M?E?essinE（3.38）
而上式在卫星轨道计算中具有重要意义。因为椭圆轨道偏心率es是个常数，所以给定一个M值，则可以采用类似于求解式（3.5）的迭代方法，将E从式（3.38）中求解出来。在迭代求解过程中，式（3.38）可改写成以下的迭代形式：
Ej?M?essin(Ej?1)（3.39）
其中j为迭代次数，而在第一次迭代中，E的初始值E0可赋值为M，并且一般只要经过2~3次迭代后即可得到相当精确的解。在稍后的例3.1中，我们将运用了这种迭代法来求解E。只要从M求得了E，我们就可以根据图3.7中的几何关系计算出相应的真近点角v。简而言之，借助于与时间呈简单线性关系的平近点角M，我们可以得到用于确定卫星瞬间位置的真近点角v。
为了对平近点角M的含义略做进一步的解释，我们将式（3.38）的等号左右两边同时乘以
12as，得 21211asM?as2E?as2essinE（3.40） 222其中，等号右边第一项等于图3.7中由点C和圆弧NQ构成的面积，第二项等于三角形COQ的面积，而它们的两者之差为点O和圆弧NQ构成的面积。因此，式（3.40）等号左边
12asM的值等于点O和圆弧NQ构成的面积，而M可以大致地视为圆弧NQ对地心O2的角距?NOQ。
如图3.7和图3.8所示，如果我们得到了真近点角v，那么卫星的轨道和位置可以更方便地用轨道平面极坐标系形式(r,v)来表达，其中卫星失经长度r是上一小节中提到的从地心O（即椭圆焦点）到卫星S的距离。椭圆的极坐标方程为
as(1?es2)（3.41） r?1?escosv它直角可从如下的椭圆定义出发推导而得：长半径为as的椭圆上的任一点到椭圆两焦点的距离和等于2as。我们下一步需要做的是从平近点角M推导出r和v，或者说是从偏近点角E推导出r和v，而确定了r和v，卫星在轨道平面中的位置也就得到了唯一确定。
由图3.7中的几何关系很容易得到
ascosE?ases?rcosv（3.42）
而上式可改写成
cosv?as(cosE?es)（3.43） r给定E值，那么根据式（3.41）和式（3.43），我们可以解得v和r如下：
cosv?cosE?es（3.44）
1?escosE1?es2sinEsinv?（3.45）
1?escosE?1?e2sinE?s?（3.46） v?arctan??cosE?es???和
r?as(1?escosE)（3.47）
解得r和v之后，卫星所在位置的极坐标(r,v)即可转换成如图3.7所示的在轨道平面直角坐标系（X，Y）中的坐标，即
?x??rcosv??as(cosE?es)??y???rsinv???a1?e2sinE?(3.48)
?s?????s???0?z????0??????将式（3.48）对时间求导，可得以下卫星在轨道平面直角坐标系（X，Y）中的运行速
度：
??sinE???sinE??x???nas?y??Ea?1?e2cosE??21?ecosE???（3.49） s?ss????1?escosE????z00??????????其中，偏近点角E对时间的导数E很容易由式（3.37）和式（3.38）得到。
3.3.3 卫星星历和历书参数
以上两小节讨论了卫星在理想状态下的无摄运动轨道以及6个开普勒轨道参数，然后在实际中，卫星除了主要受到来自地球的引力外，还会受到来自其他天体（太阳、月球等）的引力、太阳光辐射压力以及地球的不规则形状、不均匀质地等多种因素的影响。在这些复杂因素的综合作用下，各个开普勒轨道参数将不再是常数，卫星的实际运行轨道也将偏离无摄运行轨道，而这种卫星轨道偏差在GPS中是绝对不容忽视的。
为了精确描述卫星的实际运行轨道，GPS采用了一套扩展后的开普勒轨道参数，它共计16个，并且已由上一章的表2.4给出。这套轨道参数通常称为星历参数，它包含在卫星所播发的导航电文的第二数据块中。我们在此简单介绍一下各个星历参数。
星历参数toe为一套星历参数的参考时间。若当前的GPS时间在toe前后的2小时之内，则这套星历参数被认为是有效的，也就是说，一套星历参数的有效期是以toe为中心的4小
时。每颗卫星只播发关于其自身的星历，并且通常每两小时播发一套新的星历参数，但在某些特殊或紧急情况下，卫星也可能会加插播发一套新的星历参数。为了更好地鉴别一套星历的有效期，接收机通常在所获得的星历中添加一个其被播发时的星期数（WN）参量，从而消除由于不同星期存在相同GPS时间这一事实所可能引起的混淆。
星历参数?0，i0，w，as，es和M0基本上与上一小节中介绍的6个开普勒轨道参数一一对应，所不同的是，GPS卫星实际上播发平近点角M而不是真近点角v，而这其中的原因已在上一小节中得到解释。此外，GPS并不认为这6个参数在4小时之内全部都是常数，它们中的有些可以视为与时间变化成简单的线性关系，而有些需要考虑谐波振动量。卫星星历用剩下的9个参数来直接或间接对前几个开普勒轨道参数进行摄动校正，其中?n，
i和?分别对M，i和?进行线性校正，Cus和Cuc一起对升交点角距（见例3.1的第6步）
进行正、余弦调和校正，Crs和Crc对轨道半径进行正、余弦调和校正，而Crc和Cic对轨道倾角进行正、余弦调和校正。这些摄动校正量星历参数的含义和运用将会在下一节的例子中得到更为具体的说明。
每颗卫星在播发其自身的星历参数的同时，它还播发包括自身在内的所有卫星的历书参数。2.5.6节中的表2.5已列出了关于一颗卫星的10个历书参数，其中af0和af1实际上是亮哥卫星时钟校正参数，剩下的8个历书参数大体上与8个星历参数一一对应。需要指出的是，以弧度（rad）为单位的历书参数?i，只有加上0.3?后才可与星历参数i0对等比较，即
i0??i?0.3?（3.50）
用一颗卫星的星历与历书参数是由GPS地面监控部分相互独立地推算出来的，换句话说，它们之间的差异不但是参数个数多少的不同，而且描述同一个卫星轨道的星历和历书中通常有着互不相同的参数值。历书省去了星历中的一些摄动校正量，其中的一个主要原因是为了减少传播和保存历书的字节数。同时，对于有效期为半年以上的历书来说，星历中那些短期有效的摄动校正量没有多大意义，甚至根本不适用于历书模型。
在以下两节，我们将分别介绍如何利用这些星历参数来计算卫星的空间位置和运行速度，并希望读者在计算过程中加深对各个参数的理解。这一计算方法和过程同样完全适合于利用历程参数来计算卫星的位置和速度，只是在计算过程中将星历所包含但历史所没有的那些摄动校正参数值全部赋值为零。一般来说，根据有效星历得到的卫星位置与速度值相当准确，其中三维位置误差的均方差大致为3~5m，可用于GPS定位于定速计算；从而有效历书得到的卫星位置与速度值准确度不高，一般只能用于接收机对卫星信号的搜索和捕获。GPS卫星实际播发过的历书可从navcen.uscg.gov网页上下载，而播发过的星历则可从cddis.gsfc.nasa.gov网页上下载。
3.4 卫星空间位置的计算
利用星历参数计算出GPS卫星在某一时刻的空间位置是GPS接收机为实现定位而必须完成的重要一步，而本节将通过一个实际例子来详细解释这一计算方法和步骤。尽管这一计算通常需要双精度浮点运算，但是因为限于篇幅，我们只显示各个参数和变量小数点后的若干数字。另外，因为星历中的角度参数对卫星位置的计算值飞行敏感，所以GPS界面控制文件规定?的值统一取为3.1415926535898。
【例3.1】 以下是一颗卫星（PRN1）在某日播发的一组星历参数：
(1)toe?244800(2)as?5153.65531(3)es?0.005912038265(4)i0?0.9848407943(5)?0?1.038062244(6)w??1.717457876(7)M0??1.064739758(8)?n?4.249105564?10?9(9)i?7.422851197?10?51(10)???8.151768125?10?9(11)Cuc?3.054738045?10?7(12)Cus?2.237036824?10?6(13)Crc?350.53125(14)Crs?2.53125(15)Cic??8.381903172?10?8 (16)Cis?8.940696716?10?8以上这些参数值完全是按照（GPS界面控制文件）的规则编译出来的，它们均有常规、默认的单位和比例。试根据这套星历参数，计算此卫星在信号发射时刻t（GPS时间）为239050.7223s时的空间位置。
解：参照由文献[6]提供的计算方法，我们将这一计算过程分解成以下几步。
第1步：计算规化时间tk
卫星星历给出的轨道参数是以星历参考时间toe前后的两个小时之间，即tk的绝对值必须小于7200s。因为GPS时间在每周六午夜零时重新置零，所以由上式计算得到的tk值有时会引入604800s的偏差。当由式（3.51）计算得到的tk大于30240s时，则tk应减去604800s；否则，当tk小于-302400s时，则tk应加上604800s。如果星历的星期数不等于当前的星期数，比如这套星历是接收机很久以前所保存的，那么两者的星期数之差必须转换成秒数后加到由式（3.51）计算所得的tk上。正如3.3.3节所指出的那样，我们需要同时检查星历的参考时间和星期数才能决定它是否仍在当前星期和当前t时刻有效。
假定星历的星期数与当前的星期数相等，那么将t和由星历给出的toe代入式（3.51），可得tk=-5749.277700s。该规化时间值已在?302400s的范围之内，同时它的绝对值也小于7200s。在GPS和GPS接收机均正常运行的情况下，tk值一般应该是个负数。