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人教版数学九年级圆心角和圆周角关系定理的理解和解题运用
人教版数学九年级圆心角与圆周角关系定理的理解与解题运用
一、知识解读
1、圆周角与圆心角的关系：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。 在理解关系定理的内涵时，要理清如下几点： ①定理的使用范围：
必须在同圆中，这是一种情况；第二是必须在等圆中。否则，不能乱用定理。 ②理解好两种等量关系
一是同弧所对的圆周角相等，二是等弧所对的圆周角相等。这是寻找角相等的基本方向。 ③确定准圆周角的度数大小
一是同弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。 二是等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。 ④理解好“一半”的意义 在这里，有两层意义：
一是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数不知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1，所对的圆心角是∠2，则∠1=
1∠2，或∠2=2∠1， 21 y°，或y=2 x°， 2二是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1=x°，所对的圆心角是∠2=y°，则x=2、推论
在同圆或等圆中，
半圆所对的圆周角是直角； 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 二、考点剖析
考点1、直接用定理
例1、如图1所示，⊙O中，弦AB，DC的延长线相交于点P，如果?AOD?120，
o?BDC?25o，那么?P? ．
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方法解读：
∠AOD、∠ABD是同一条弧，AD弧上的圆心角和圆周角，根据定理就能求∠ABD的度数； ∠ABD是三角形PBD的一个外角，
所以，∠ABD=∠BDC+∠P；这样，就把所求与已知联系起来了。 解：
因为，∠AOD、∠ABD是同一条弧，AD弧上的圆心角和圆周角， 所以，∠ABD=
11∠AOD=×120°=60°， 22因为，∠ABD是三角形PBD的一个外角，
所以，∠ABD=∠BDC+∠P， 因为，∠BDC=25°，
所以，∠P=60°-25°=35°。
考点2、构造同弧上圆周角后用定理
例2、如图2-1所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，AD，若?CAB?35，则?ADC的度数为 ． 例3、方法解读：
连接BD，如图2-2所示， 根据定理，得到:
∠CAB=∠CDB =35°， 因为，AB是⊙O的直径，
所以，根据推论，得到：∠ADB=90°，
所以，∠ADC=∠ADB-∠CDB=90°-35°=55°。 解：应该填55°。
o考点3、对圆周角的位置分类后用定理
?例3、若O为?ABC的外心，且?BOC?60,则?BAC?__________
?
方法解读：
在解答时，要分两种情形求解，
当圆周角∠BAC与锐角圆心角∠BOC构成同弧上的圆心角与圆周角关系定理时，如图3所示， 根据定理，得：∠BAC=
11∠BOC=×60°=30°； 2211∠BOC=×（360°-60°）=150°。 22当圆周角∠BAC与钝角圆心角∠BOC构成同弧上的圆心角与圆周角关系定理时，如图4所示， 根据定理，得：∠BAC=解：
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∠BAC的度数是30°或150°。
考点4、与量角器联手构造圆心角后用定理
例4、如图5所示，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .
方法解读：
解答的关键，是会读量角器。
根据题意，知道，量角器的中心与圆的圆心O是重合的，量角器的水平边沿与圆的直径CD 是重合的，量角器外沿上有A、B两点，量的角分别是对应的∠BOC和∠AOC, 因为，它们的读数分别是70°、40°， 所以，∠BOC=40°，∠AOC=70°，
所以，∠AOB=∠AOC -∠BOC =70°-40°=30°， 所以，∠1与∠AOB是同弧上的圆心角与圆周角， 因此，∠1=
11∠AOB=×30°=15°。 22解：应该填15°。
考点5、构造直径后用定理及其推论
例5、如图6所示，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝为 。
方法解读：
遇到锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行。
在圆中构造直角三角形的最好办法，就是巧妙引圆的一条直径，根据直径所对的圆周角是直角，来完成问题的求解。 解：
如图7所示，作圆的直径AD，交圆于点D，连接DC， 因为，AD是直径，
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3，则弦AC的长4人教版数学九年级圆心角和圆周角关系定理的理解和解题运用
所以，∠ACD=90°， 因为，∠ADC=∠ABC， 所以，在直角三角形ADC中，
3AC=, 4AD3所以，AC=AD sin∠ADC=4×=3。
4所以，sin∠ABC=sin∠ADC=
考点6、用定理求圆心角的范围
?例6、如图8所示，△ABC内接于⊙O，点P是AC上任意一点（不与A、C重合），
?ABC?55,则?POC的取值范围是 ．
方法解读：
我们不妨采用极端值法，因为点P不与点A、点C重合，所以，圆心角∠POC就不可能与 ∠ABC构成同弧上的圆心角与圆周角，
因此，∠POC一定小于2倍的∠ABC，即∠POC＜110°； 同时，点P在运动中，∠POC一定有度数，所以，0°＜∠POC； 这样，我们就把∠POC的范围的两个极端值求出来了。 解：∠POC的取值范围是0°＜∠POC＜110°。
?考点7、用定理求圆周角的范围
例7、 如图9所示, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是 .
方法解读：
我们不妨采用极端值法，
当点P与点O重合时，根据OA=OC，
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