发布时间 : 星期四 文章平面向量知识点总结及同步练习更新完毕开始阅读ca10e6a87f1922791688e878
沿途教育
→·→＝|OA→|·→|·∴OAOB|OBcos120°＝－2.
三、解答题。
11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.
求证：AD⊥CE.
[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． a?2???1
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D?0，2?，C(0,0)，E?3a，3a?.
????a?→?12?→＝??－a，2?，CE∴AD＝?3a，3a?.
????1a2→·→＝－a·∵ADCEa＋AD⊥CE.
32·3a＝0，∴
12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
[证明] 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，→＝(2，－2)
则D(1,0)，AC
→＝λAC→， 设AF
→＝BA→＋AF→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)， 则BF
→＝(－1,2) 又DA
→⊥→，∴→·→＝0，
由题设BFDABFDA2∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝3.
42?12?→＝?→＝BF→－BD→＝??3，3?，∴?3，3?， ∴BFDF
????→＝(1,0)， 又DC
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沿途教育
→·→→·→DADB5DFDC5
∴cos∠ADB＝＝， cos∠FDC＝＝，
→|·→|5→|·→|5|DA|DB|DF|DC又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →－tOC→)·→＝0，求t的值．
(2)设实数t满足(ABOC
→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)． [解析] (1)由题设知AB
→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42. 所以|AB
故所求的两条对角线长分别为42和210.
→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．
(2)由题设知OC
11→－tOC→)·→＝0，得(3＋2t,5＋t)·
由(ABOC(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－5. 14．一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
→→
[解析] 如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，
→|＝|AC→|＝2，|AD→|＝4，∠
|DEAED＝90°. →|＝∴|AE
→|2－|DE→|2＝23，
|AD
1
sin∠EAD＝2，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.
答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．
1
15．在?ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝3BD，求证：M，N，C三点共线．
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→＝BN→－BM→.
[证明] MN
→＝1BA→，BN→＝1BD→＝1(BA→＋BC→)， 因为BM
233→＝1BA→＋1BC→－1BA→，
所以MN
3321→1→
＝3BC－6BA.
→＝BC→－BM→＝BC→－1BA→， 由于MC
2→＝3MN→，即MC→∥→. 可知MCMN
又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线．
16．如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
[分析] 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，→→的坐标，证明其模相等即可． 为此只要写出PA和EF
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为
??2?22?2?→|＝λ(λ>0)，则F??λ，0?，P?λ，λ?，E?a，λ?， a，则A(0，a)．设|DP
2?2??2??2?22?→?22?→＝??λ－a，－λ?，P所以EFA＝?－λ，a－λ?，
2?2??2?2
→|2＝λ2－2aλ＋a2，|P→→|＝|P→
因为|EFA|2＝λ2－2aλ＋a2，所以|EFA|， 即PA＝EF.
17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.
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[证明] ∵AB＝AC，且D是BC的中点， →⊥→，∴→·→＝0. ∴ADBCADBD→⊥→，∴→·→＝0. 又DEACDEAE→＝DC→，F是DE的中点， ∵BD
1→→∴EF＝－2DE.
→·→＝(AE→＋EF→)·→＋DE→) ∴AFBE(BD
→·→＋AE→·→＋EF→·→＋EF→·→＝AE→·→＋EF→·→＋EF→·→＝(AD→＋DE→)·→＋＝AEBDDEBDDEBDBDDEBD→·→＋EF→·→＝AD→·→＋DE→·→＋EF→·→＋EF→·→＝DE→·→－1DE→·→－1DE→·→＝1EFBDDEBDBDBDDEDCDCDE
222→·→－1DE→·→＝1DE→·→－DE→)＝1DE→·→＝0.
DEDCDE(DCEC
222
→⊥→，∴∴AFBEAF⊥BE.
平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A．EF＝OF＋OE B．EF＝OF－OE C．EF＝－OF＋OE
D．EF＝－OF－OE
2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，
AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为( )
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A.2
1B.3 16