发布时间 : 星期四 文章(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)更新完毕开始阅读c94e3550743231126edb6f1aff00bed5b9f37389
初中数学竞赛专题[配方法]
一、内容提要
1. 配方:这里指的是在代数式恒等变形中,把二次三项式a±2ab+b写成完全平方式
(a±b). 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.
常用的有以下三种:
①由a+b配上2ab, ②由2 ab配上a+b, ③由a±2ab配上b.
2. 运用配方法解题,初中阶段主要有: ① 用完全平方式来因式分解
例如:把x+4 因式分解.
原式=x+4+4x-4x=(x+2)-4x=……
这是由a+b配上2ab. ② 二次根式化简常用公式:写成完全平方式. 例如:化简我们把5-2
5?26a2?a2
24
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
22
2
,这就需要把被开方数
.
6写成 2-223+3
=(2)2-223+(3)2
=(
这是由2 ab配上a+b.
- 1 -
2
2
2-3)
2
.
③ 求代数式的最大或最小值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值.即∵a≥0, ∴当a=0时, a的值为0是最小值.
例如:求代数式a+2a-2 的最值. ∵a+2a-2= a+2a+1-3=(a+1)-3 当a=-1时, a+2a-2有最小值-3. 这是由a±2ab配上b
2
2
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2
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2
2
2
2
④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零,有时就需要配方.
例如::求方程x+y+2x-4y+5=0 的解x, y.
解:方程x+y+2x-4y+1+4=0.
配方的可化为 (x+1)+(y-2)=0.
?x?1?0 要使等式成立,必须且只需?.
y?2?0??x??1解得 ?
?y?22
2
2
2
2
2
此外在解二次方程中应用根的判别式,或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识和技巧.
- 2 -
二、例题
例1. 因式分解:ab-a+4ab-b+1.
解:ab-a+4ab-b+1=ab+2ab+1+(-a+2ab-b) (折项,分组)
=(ab+1)
(配方)
=(ab+1+a-b)(ab+1-a+b)
(用平方差公式分解)
本题的关鍵是用折项,分组,树立配方的思想.
例2. 化简下列二次根式:
①
7?43;
②
2?3;
③
10?43?222
22
2
2
22
2
2
22
2
2
-(a-b)
2
.
解:化简的关键是把被开方数配方
①
7?43=4?2?23?3=(2?3)2 =2?3=2+3.
②2?3=
232?2=
4?232=
(3?1)22
=
2(3?1)=.6?222
10?4(2?1)2③
10?43?22=
==
10?(42+1)6?42- 3 -
=4?2?22?2=
(2?2)2=2-2.
=
例3. 求下列代数式的最大或最小值:
① x+5x+1; ② -2x-6x+1 .
2
2
解:①x2
+5x+1=x
2
+2×55?225`2x+???2??-4+1
=(x+52
2)-214.
∵(x+5)2
2≥0,其中0是最小值.
即当
x=5时,x2
+5x+1212有最小值-4.
②-2x2
-6x+1 =-2(x2
+3x-12)
=-2(x2
+2×3x+9?9244-12)
=-2(x+32
2)+112
∵-2(x+3)2
2≤0,其中0是最大值,
∴当
x=-32
2时,-2x-6x+1
有最大值112.
例4. 解下列方程:
①x4
-x2
+2xy+y2
+1=0 ; ②x2
+2xy+6x+2y2
+4y+10=0.
解:①(x4
-2x2
+1)+(x2
+2xy+y2
)=0 . (折项,分组) (x2
-1)2
+(x+y)2
=0. (配方)
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