发布时间 : 星期二 文章2014-2015学年安徽省淮北一中高二（下）第一次质检数学试题（理科）更新完毕开始阅读c6d3fdc76c175f0e7dd13731
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： 先求出函数f（x）的导数，问题转化为：方程
组解出即可．
解答： 解：由题意可知，在区间上存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a）， 满足∵
∴f′（x）=x﹣2x， ∴方程令
在区间有两个解，
，
2
在区间有两个解，解不等式
，
，
则，解得：，
故答案为：．
点评： 本题考查了二次函数的性质，考查导数的应用，解不等式问题，理解所给 定义是解题的关键，本题是一道中档题．
15．设二次函数g（x）的图象在点（m，g（m））的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）﹣h（x） 则下面说法正确的有： ①④⑤
①存在相异的实数x1，x2使f（x1）=f（x2）成立； ②f（x）在x=m处取得极小值； ③f（x）在x=m处取得极大值； ④不等式
的解集非空；
⑤直线 x=m一定为函数f（x）图象的对称轴．
考点： 二次函数的性质；命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用；推理和证明．
2
分析： 设g（x）=ax+bx+c，（a≠0）然后求出在点（m，g（m））的切线方程为y=h（x），从而得到f（x）的解析式，根据二次函数的性质可得结论．
2
解答： 解：设g（x）=ax+bx+c，（a≠0）则g（x）′=2ax+b， ∴g（m）′=2am+b则在点（m，g（m））的切线方程为 h（x）﹣g（m）=（2am+b）（x﹣m），
2
即 h（x）=（2am+b）x﹣am+c，
∴f（x）=ax+bx+c﹣（2am+b）x+am﹣c=ax﹣2amx+am=a（x﹣m）， ∴f（x）是二次函数，关于x=m对称，故⑤正确；
当x1，x2关于x=m对称时，f（x1）=f（x2）成立，故①正确； 当a＜0时，在x=m处取得极大值，故②不正确； 当a＞0时，在x=m处取得极小值，故③不正确； x=m时f（x）=0，满足|f（x）|＜
，故④正确；
22222
故答案为：①④⑤ 点评： 本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想．
三、解答题（本大题共75分）
1）已知a，b，c＞0且a+b+c=1，求证：； （2）已知n∈N，求证：
*
．
考点： 不等式的证明． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用． 分析： （1）运用构造向量法，设=（1，1，1），=（
，
，
），由|?|≤||?||，
计算即可得证；
（2）运用数学归纳法证明，注意解题步骤，当n=k+1时，要证的目标是
，当代入归纳假设后，就是要证明：
解答： 证明：（1）设=（1，1，1），=（则||=
，||=
=
，
，
，
），
．
由|?|≤||?||，
可得++≤3； （2）①当n=1时，左边=1，右边=2． 左边＜右边，不等式成立． ②假设n=k时，不等式成立，即那么当n=k+1时，
，
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 点评： 本题考查不等式的证明，考查构造向量法和数学归纳法的证明，属于中档题．
．
17．已知公比q不为1的等比数列{an}的首项，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等
差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N+，在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．
考点： 数列的求和；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （I）通过2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6化简得2q﹣3q+1=0，进而计算可得结论； （II）通过bn=n?
，写出Tn、
Tn的表达式，利用错位相减法计算即得结论．
2
解答： 解：（I）由题可知：2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6， 化简得：2a6﹣3a5+a4=0，
2
∴2q﹣3q+1=0， 解得：q=或q=1（舍）， ∴an=
=
；
（II）依题意bn=∴
=n?，
，
，
两式相减得：
=?（?﹣n?），
∴Tn=（1﹣
﹣）．
点评： 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）． （Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围； （Ⅱ）求函数f（t）的最大值．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： （ I）S△APH=PH×AH．其中AH=OA﹣OH，OH等于P的横坐标，P的纵坐标即为|PH|=t，利用函数解析式可求OH．得出面积的表达式． （ II）由（ I），面积为出最值．
解答： 解：（ I）由已知可得
2
．利用导数工具研究单调性，求
，所以点P的横坐标为t﹣1，
．
2
因为点H在点A的左侧，所以t﹣1＜11，即由已知t＞0，所以，
22
所以AH=11﹣（t﹣1）=12﹣t， 所以△APH的面积为（ II）
由f'（t）=0，得t=﹣2（舍），或t=2．
函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图： 所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8．
，
．
点评： 本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．
19．已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N） （Ⅰ）求证：数列{an+}为等比数列； （Ⅱ）记Tn=S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式．
考点： 数列的求和；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由3an=2Sn+n，类比可得3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减，整理即证得数列{an+}是以为首项，3为公比的等比数列；
*
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+=?3?an=（3﹣1），Sn=数列的求和公式，即可求得Tn的表达式．
nn
﹣，分组求和，利用等比数列与等差