发布时间 : 星期三 文章河北省衡水中学2019届高三下学期四调数学(理)试题更新完毕开始阅读c6bf64dec381e53a580216fc700abb68a882ade3
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档题.
18．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC?平面POE，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB的方向向量与平面POE的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
3129； （Ⅲ）见解析. 86uuuvuuuv(Ⅲ)假设满足题意的点F存在，设DF??DC(0???1)，由直线BF与PA的方向向量得
到关于?的方程，解方程即可确定点F的位置. 【详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC?BD，结合三角形中位线的性质可知：OEPBD，故
OE?AC，
PO?底面ABCD，AC?底面ABCD，故AC?OP，
且OP?OE?O，故AC?平面POE，
PE?平面POE，?AC?PE
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP?OA，OP?OB，OA?OB， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz，
?33P0,0,4,B0,33,0,00,0,0,E????,3,0?则：??，
?22???答案第15页，总24页
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设平面POE的一个法向量为m??x,y,z?,
rvruuu?m?OP?4z?0?v3则：?ruuu， 33y?0?m?OB?x?22?据此可得平面POE的一个法向量为m?r?3,?1,0，
?uuuv而PB?0,33,?4，
??设直线PB与平面POE所成角为?，
uuuvrPB?m333?129. vr?则sin??uuu86PB?m2?13(Ⅲ)由题意可得：D??3,0,0?,C?6,33,0,A?3,0,0?，假设满足题意的点F存在， 设F?x,y,z?，DF??DC(0???1)，
??uuuvuuuv?x??3??3?据此可得：?x?3,y,z????3,33,0，即：?y?33?,
?z?0???从而点F的坐标为F?3??3,33?,0，
??uuuvuuuv据此可得：BF??3??3,33??33,0,PA??3,0,?4?，
??uuuvuuuvBF?PA9??9331??uuuvuuuv??. 结合题意有：，解得：
10BF?PA5?9???1?2?27???1?22
故点F为CD中点时满足题意. 【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．（1）3.62（元／公斤）； （2）0.352；（3）明年选择种植杂交稻B收入更高. 【解析】 【分析】
（1）先求分布列，再根据数学期望公式得结果，（2）根据组中值与对应概率乘积的和求平均值，根据独立重复试验概率公式求概率，（3）根据散点图判断是否线性相关，代入公式求
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b，根据y?bx?a求a，根据线性回归方程估计明年杂交稻B的单价，再乘以亩产平均值
得收入，根据每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%得明年常规稻A的单价，再乘以500得收入，最后比较收入大小得结论. 【详解】
（1）设明年常规稻A的单价为?，则?的分布列为
? P
3.50 0.1 3.60 0.6 3.70 0.3 E????3.5?0.1?3.6?0.6?3.7?0.3?3.62，
估计明年常规稻A的单价平均值为3.62（元／公斤）； （2）杂交稻B的亩产平均值为：
???730?790?800??0.005??740?780??0.01??750?770??0.02?760?0.025???10?116?152?304?190?762．
依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：p?0.2+0.1+0.05?2=0.4， 则将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：
2C3?0.42??1?0.4??0.43?0.352．
（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关， 由题中提供的数据得：b??0.52??0.8，由y?bx?a 0.65a?y?bx?2.82?0.8?1.60?4.10， ???0.8x?4.10， 所以线性回归方程为y???0.8?2?4.10?2.50元／公斤； 估计明年杂交稻B的单价y估计明年杂交稻B的每亩平均收入为762?2.50?1905元／亩，
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估计明年常规稻A的每亩平均收入为500?E????500?3.62?1810元／亩， 因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高． 【点睛】
函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用
?，写出回归方程，回归直线方程恒过点?x,y?. ?,b公式求a220．（Ⅰ）x?4y（Ⅱ）2,???
?【解析】 【分析】
（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到9?p?10，即可求出p，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直2?x12??x22?线l的斜率一定存在，可设斜率为k，直线l为y?kx?1，设A?x1,?，B?x2,?，
44????由{y?kx?1x2?4y可得x2?4kx?4?0，x1?x2?4k，x1x2??4，然后对y?12x求导，可4得到PA的斜率及方程表达式，进而可表示出AP，同理可得到BQ的表达式，然后对
AP?BQ化简可求出范围。
【详解】
解：（Ⅰ）已知M?m,9?到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10. ∵抛物线的准线为y??pp，∴9??10， 222解得p?2，∴抛物线的方程为x?4y.
（Ⅱ）由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F?0,1?，则l：y?kx?1.
y?kx?1?x12??x22?{Bx,设A?x1,，，由消去y得，x2?4kx?4?0， ??2?2x?4y4?4???∴x1?x2?4k，x1x2??4.
121x121由于抛物线C也是函数y?x的图象，且y'?x，则PA：y??x1?x?x1?.
4242答案第18页，总24页