发布时间 : 星期六 文章小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)更新完毕开始阅读c65e6f1ca45177232f60a2ee
1所以S△ABM?S△ACM?S△BCN?S△ABC
311由于S△AEM?S△AMC?S△ABMS,所以BM:ME?2:1
22在△EBC中,根据燕尾定理,S△BEN:S△CEN?BF:CF?1:1S△CEN:S△CBN?ME:MB?1:2 设S△CEN?1(份),则S△BEN?1(份),S△BCN?2(份),S△BCE?4(份),
1111所以S△BCN?S△BCE?S△ABC,S△BNE?S△BCE?S△ABC,因为BM:ME?2:1,F为BC中点,
244822111111所以S△BMN?S△BNE??S△ABC?S△ABC,S△BFN?S△BNC???S△ABC,
33812224855?11?所以S阴影????S△ABC?S△ABC??15?3.125(平方厘米)
2424?128?
【例 12】 如右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M,
AF与BG交于N,已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,则△ABC的面积是多少平方厘米?
AGMFCBDEAGNMBDENFC
【解析】 连接CM、CN.
1根据燕尾定理,S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1,S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3,所以S△ABM?S△ABC;
5再根据燕尾定理,S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1,所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3,所以
AN:NF?4:3,那么
1根据题意,有S△ABC5S△ANG151542?2????,所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?S△ABC.
7428S△AFC24?37?7?5?S△ABC?7.2,可得S△ABC?336(平方厘米) 28
【巩固】(2007年四中分班考试题)如图,?ABC中,点D是边AC的中点,点E、F是边BC的三等分点,
若?ABC的面积为1,那么四边形CDMF的面积是_________.
ADNCBEADNBEMM
【解析】 由于点D是边AC的中点,点E、F是边BC的三等分点,如果能求出BN、NM、MD三段的比,
那么所分成的六小块的面积都可以求出来,其中当然也包括四边形CDMF的面积. 连接CM、CN.
根据燕尾定理,S?ABM:S?ACM?BF:CF?2:1,而S?ACM?2S?ADM,所以S?ABM?2S?ACM?4S?ADM,那
4么BM?4DM,即BM?BD.
5BMBF4214147那么S?BMF?. ??S?BCD????,S四边形CDMF???BDBC5321521530 page 13 of 18 FFC1111另解:得出S?ABM?2S?ACM?4S?ADM后,可得S?ADM?S?ABD???,
55210117则S四边形CDMF?S?ACF?S?ADM???.
31030
【例 13】 如图,三角形ABC的面积是1,BD?DE?EC,CF?FG?GA,三角形ABC被分成9部分,
请写出这9部分的面积各是多少?
AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N.连接CP,
CQ,CM,CN.
根据燕尾定理,S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2,S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2,设S△ABP?1(份),则
1S△ABC?1?2?2?5(份),所以S△ABP?
5211213121同理可得,S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?,所以S△APQ???,S△AQG???.
72375353721311239同理,S△BPM?,S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????
3357042321426321642
【巩固】如图,?ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分点,那么四
边形JKIH的面积是多少?
DECCFGKAIHB
CDEAGKIHB
JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ.
根据燕尾定理,S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2,S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2,
1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4,那么S?ACK??,S?AGK?S?ACK?.
1?2?473212类似分析可得S?AGI?.
151又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1,S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1,可得S?ACJ?.
41117那么,SCGKJ???.
4218417根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为,那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为
84 page 14 of 18 SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE?172161619?2???,所以四边形JKIH的面积为1??. 84153707070
【例 14】 如右图,面积为1的△ABC中,BD:DE:EC?1:2:1,CF:FG:GA?1:2:1,AH:HI:IB?1:2:1,
求阴影部分面积.
AHGHNMFPECAGIBDEFCBID
【解析】 设IG交HF于M,IG交HD于N,DF交EI于P.连接AM, IF .
9S△ABC 16 ∵S△FIM:S△AMF?IH:HA?2,S△FIM:S△AIM?FG:GA?2,
193 ∴S△AIM?S△AIF?S△ABC ∵AH:AI?1:3 ∴S△AHM?S△ABC,
464643 ∵AH:AB?1:4 AF:AC ∴S△AHF?S△ABC . ?3:4163733同理 S△CFD?S△BDH?S△ABC ∴S△FDH?S△ABC HM:HF?:?1:4,
16166416 ∵ AI:AB?3:4,AF:AC?3:4,
∵AI:AB?3:4,AF:AC?3:4,?S△AIF? ∴IF∥BC ,
又∵IF:BC?3:4,DE:BC?1:2,
∴DE:IF?2:3,DP:PF?2:3,
同理 HN:ND?2:3,∵HM:HF?1:4,∴HN:HD?2:5,
177 ∴S△HMN?S△HDF?. S△ABC?101601607 同理 6个小阴影三角形的面积均为.
160721 阴影部分面积??6?.
16080
【例 15】 如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴
影部分面积.
ADEIHEQBFGCBFGCDPAIMHN 【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!
BN、CP
令BI与CD的交点为M,AF与CD的交点为N,BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、
page 15 of 18 ⑴求S四边形ADMI:在△ABC中,根据燕尾定理,
S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份),则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),
1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC,所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,
431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,
121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的
6⑵求S五边形DNPQE:在△ABC中,根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,
11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC
3372121在△ABC中,根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2
1所以S△ABP?S△ABC
51?11?11所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?S△ABC
105?52121?11同理另外两个五边形面积是△ABC面积的
10511113所以S阴影?1??3? ?3?610570
【例 16】 如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中
心六边形面积.
ADEIHEQBFGCBMFSGCDAIPHNR
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q,连接CR
在△ABC中根据燕尾定理,S△ABR:S△ACR?BG:CG.?2:1, S△ABR:S△CBR?AI:CI?1:2
222所以S△ABR?S△ABC,同理S△ACS?S△ABC,S△CQB?S△ABC
7772221所以S△RQS?1????
77771同理S△MNP?
711131根据容斥原理,和上题结果S六边形????
777010
【例 17】 (2009年数学解题能力大赛六年级初试试题)正六边形A1,A2,A3,A4,A5,A6的面积是2009B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点;平方厘米,那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.
page 16 of 18 A1B6A6B5B1A2B2A3B3B6A6B5A1B1DGEA2B2A3B3
【解析】 (方法一)因为空白的面积等于△A2A3G面积的6倍,所以关键求△A2A3G的面积,根据燕尾定理可
3311得S△A2A3G?S△A1A2A3???S正六边形,但在△A1A2A3用燕尾定理时,需要知道A1D,A3D的长度比,
7732连接A1A3,A6A3,A1G,过B6作A1A2的平行线,交A1A3于E,根据沙漏模型得A1D?DE,再根据金字塔
模型得A1E?A3E,因此A1D:A3D?1:3,在△A1A2A3中,设S△A1A2G?1份,则S△A2A3G?3份,S△A3A1G?3份,
A5B4A4A5B4A433111所以S△A2A3G?S△A1A2A3???S正六边形?S正六边形,
77321414因此S阴影?(1??6)S正六边形??2009?1148(平方厘米)
147(方法二)既然给的图形是特殊的正六边形,且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路,把正
8六边形分割成14个大小形状相同的梯形,其中阴影有8个梯形,所以阴影面积为?2009?1148(平
14方厘米)
ADA1B6B1GA2EDB2A3EGBFCA6B5A5B4A4B3
Aa甲DOCGDM【例 18】 已知四边形ABCD,CHFG为正方形,S甲:S乙?1:8,a与b是两个正方形的边长,求a:b??
BAa甲OCGB乙EHbFENH乙bF
【解析】 观察图形,感觉阴影部分像蝴蝶定理,但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走,注意到题目
条件中给出了两个正方形的边长,有边长就可以利用比例,再发现在连接辅助线后可以利用燕尾,那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO、AF,
根据燕尾定理:S△AOE:S△AOF?a:b,S△AOF:S△EOF?a:b
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