发布时间 : 星期六 文章人教版高中数学必修5全册课时同步作业练习与单元检测(含答案解析,共162页)更新完毕开始阅读c655edd4dbef5ef7ba0d4a7302768e9951e76ebc
B<90°，??
，即?2B<90°
?－3B<90°，?180°
∴30° asin Asin 2B由正弦定理知：＝＝＝2cos B∈(2，3)， bsin Bsin B a 故b的取值范围是(2，3)． 1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． 2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况. bsin A a 课时目标 1．熟记正弦定理的有关变形公式； 2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明． abc＝＝＝2R的常见变形： sin Asin Bsin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； a＋b＋cabc (2)＝＝＝＝2R； sin Asin Bsin Csin A＋sin B＋sin C(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； abc (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R2R2R 111 2．三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B. 2221．正弦定理： 一、选择题 1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 D abc 2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( ) cos Acos Bcos C A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案 B sin Asin Bsin C 解析 由正弦定理知：＝＝， cos Acos Bcos C ∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 3 3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( ) 4 15 ，＋∞? B．(10，＋∞) A.??2? 400，? C．(0,10) D.?3?? 答案 D ca4040 解析 ∵＝＝，∴c＝sin C. sin Csin A3340∴0 4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案 A 解析 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 答案 B 解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， b＋cc＋aa＋b∴＝＝. 456b＋cc＋aa＋b令＝＝＝k (k>0)， 456 b＋c＝4k??5则?c＋a＝5k，解得b＝2k??a＋b＝6k3 ?? ???c＝2k 7a＝k2 . ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 1 6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) 4 A．1 B．2 1 C. D．4 2 答案 A 解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π， abcabc11 得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1. 24R44 二、填空题 1 7．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝，S△ABC＝43，则b＝________. 3 答案 23 122 解析 ∵cos C＝，∴sin C＝， 33 1 ∴absin C＝43，∴b＝23. 2 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c＝________. 答案 2 ab31 解析 由正弦定理＝，得＝， sin Asin Bsin 60°sin B 1 ∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b， 2 得A>B，∴B＝30°，故C＝90°， 由勾股定理得c＝2. ab 9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋ sin A2sin B 2c ＝________. sin C 答案 7 解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， abc∴＝＝＝2R＝2， sin Asin Bsin Cab2c∴＋＋＝2＋1＋4＝7. sin A2sin Bsin C a＋b＋c 10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则＝ sin A＋sin B＋sin C ________，c＝________. 答案 12 6 a＋b＋ca63 解析 ＝＝＝12. sin A＋sin B＋sin Csin A3 2 11 ∵S△ABC＝absin C＝×63×12sin C＝183， 22 ca1 ∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6. 2sin Csin A 三、解答题 a－ccos Bsin B 11．在△ABC中，求证：＝. b－ccos Asin Aabc 证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R， sin Asin Bsin C 2Rsin A－2Rsin Ccos B 所以左边＝ 2Rsin B－2Rsin Ccos A sin?B＋C?－sin Ccos Bsin Bcos Csin B＝＝＝＝右边． sin?A＋C?－sin Ccos Asin Acos Csin A a－ccos Bsin B 所以等式成立，即＝. b－ccos Asin A 12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． 解 设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A a2sin Bb2sin A?＝ cos Bcos A 4R2sin2 Asin B4R2sin2 Bsin A?＝ cos Bcos A?sin Acos A＝sin Bcos B ?sin 2A＝sin 2B ?2A＝2B或2A＋2B＝π π ?A＝B或A＋B＝. 2 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 能力提升 13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案 C 解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°， －A)sin Csin(120° ∴＝ sin Asin Asin 120° cos A－cos 120°sin A＝ sin A3＋13131 ＝＋＝＝＋， 2tan A2222∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°. π 14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝， 4 B25cos ＝，求△ABC的面积S. 25 B3 解 cos B＝2cos2 －1＝， 254故B为锐角，sin B＝. 5 3π72－B?＝所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin??4?10. asin C10 由正弦定理得c＝＝， sin A7111048 所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝. 227571．在△ABC中，有以下结论： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； A＋BCπ(3)＋＝； 222A＋BA＋BA＋BCC(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝22222 C. tan 22．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明． 1