发布时间 : 星期六 文章2020版高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第3节 文(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读c542c250f32d2af90242a8956bec0975f565a44a
第3节 空间点、直线、平面的位置关系
课时作业
基础对点练(时间：30分钟)
1．设α、β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β( ) (A)若l⊥β，则α⊥β (B)若α⊥β，则l⊥m (C)若l∥β，则α⊥β (D)若α∥β，则l∥m
A 解析：依题意，若l⊥β，l?α，则α⊥β，故A正确；若α⊥β，则l与m可能平行、垂直或异面，B错误；若l∥β，则α与β平行或相交，C错误；若α∥β，则
l与m平行或异面，D错误，选A.
2．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )
①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线； ②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线； ③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β； ④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直． (A)1 (C)3
(B)2 (D)4
A 解析：对于①，m，n的位置关系可能为相交、平行或异面，①错误；对于②，易知是正确的；对于③，直线n可能与平面β平行、相交或直线n在平面β内，③错误；对于④，易知正方体的相邻两个侧面的对角线在底面的射影互相垂直，但这两条直线显然不垂直，所以④错误．综上所述，真命题的个数为1，故选A.
3．已知ABC－A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是( )
(A)在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45° (B)在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45° (C)在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行 (D)在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直
B 解析：如图，设该直三棱柱的棱长为2，过点M作MP⊥BC交BC于点P，连接AP，则MP＝2，AP＝3.因为2＞3，故在棱AA1上存在点N，使得MN与平面BCC1B1所成角的大小为45°.故选B.
4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
(A)30° (C)60°
(B)45° (D)90°
C 解析：延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°，故选C.
5．(2018湛江二模)下列命题正确的是( ) ①三点确定一个平面；
②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；
③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面； ④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。 A．①③ C．②④
C 解析：注意考查所给的问题：
①不在同一条直线上的三点确定一个平面，原说法错误； ②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，该说法正确；
③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，原说法错误；
④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确． 综上可得：命题正确的是：②④.故选C. 6．(2018四川雅安考试)下列说法错误的是( ) (A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．①④ D．②③
(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直
(C)如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 (D)如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
D 解析：选项A，B，C均正确，故排除．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，D错误．故选D.
7．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC所成角为60°，且AD＝3，则BC等于________．
解析：将该四面体放入长方体中，如图，在直角三角形CBE中，CE＝3，∠BCE＝60°，3
所以斜边BC＝＝23.
cos 60°
答案：23
8．(2018景德镇质检)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为____________．(把你认为正确的结论的序号都填上)
解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错．易知③④正确． 答案：③④
9．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．
(2)解：取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角． 1
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，
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