发布时间 : 星期五 文章1140503102450451连续时间马尔可夫链更新完毕开始阅读c1712c38aef8941ea66e053d
此如果群体从i个个体开始，在时刻t其总量是i个独立同几何分布随机变量之和，有负二项分布，也即对尤尔过程
骣j-1-lti-lt琪 Pt=e1-eij()琪i-1桫()j-i,j吵i 1关于从一个个体开始的尤尔过程的另一个有趣的结果涉及时刻t的群体总量给定时出生时刻的条件分布。因为第i个出生在时刻Si?T1鬃?Ti发生，所以我们计算已给X(t)=n+1时S1,鬃?,Sn的条件联合分布。直观地推导，并将密度当作概率处理可得，对0＃s1s2Ｗ鬃＃snsnt
|(Xt)=n+n鬃,n P{S1=s1,S2=s,2?S} 1}tn
s =P{T,T=1=s12P{X()t=+n1}s,鬃2?,nT-s-ns1,+n>T1--nls-s-n+1lt-s-2lt-sle-lt12le(21)鬃?nle(nn-1)e()(n) =
P{X(t)=n+1}-lt-s-lt-s-lt-s =Ce(1)e(2)鬃?e(n)
其中C是某个不依赖于s1,鬃?,sn的常数。因此我们看到，给定X(t)=n+1时
S1,鬃?,Sn的条件密度为 f(s1,鬃?,snn|其中f是密度函数
)1n=?!f(s)， 0＃sii=1n1鬃祝st （5.3.1） n?
ìle-l(t-x)?,0＃xt?-lt f(x)=í1-e （5.3.2）
其它?0,??但是因为（5.3.1）是n个密度为f的随机变量的一个子样的顺序统计量的联合密度函数（参阅第二章2.3节）。于是我们证得
命题5.3.1
?,Sn的考虑一个尤尔过程，其X(0)=1,则给定X(t)=n+1时，出生时刻S1,鬃分布如同取自密度为（5.3.2）的母体的容量为n的子样的顺序统计量的分布。
命题5.3.1可用来以同样的方法对尤尔过程建立与泊松过程相应的结果。
例5.3（b） 考虑一个尤尔过程，其X(0)=1.让我们计算在时刻t群体各
个成员的年龄之和的均值。时刻t各个年龄之和，记为A(t)，可表示为
A(t)=a0+t+x(t)-1i-1?(t-S)
iA(t)，对X(t)取条件 其中a0是初始个体在t=0时的年龄。为计算E轾臌 E轾A()t|臌Xt()=+n1=0n轾a++t犏E?(犏i=1臌i-)t|S() +nX=t1-lt-xle() =a0+t+nò0(t-x)1-e-ltdx
t或
A(t)|X(t) E轾臌1-e-lt-lte-lt=a0+t+X(t)-1
l1-e-lt()()取期望且由X(t)有均值elt得
A(t) E轾臌elt-1-lt=a0+t+
lelt-1 =a0+
l其它与A(t)有关的量，例如它的母函数可按同样的方法计算。
A(t)的公式可用下面的恒等式加以验证，此式的证明留作一个练上面E轾臌习：
A(tò0)=a0+取期望得
t轾 E轾At=a+Eò00犏臌()臌tX （5.3.3） ()s d s(X)s dsd s （因为X(s)30）
t =a0+ò0E轾()s臌X =a0+ò0elsd selt-1 =a0+
lt下面的例子提供了纯生过程的另一种解释。
例5.3（c） 一个简单的传染模型。考虑有m个个体的群体，在时刻0由一
个已感染的个体与m-1个未受到感染但能被感染的个体组成。个体一旦受到感染将永远处于此状态。假设在任意的长为h的时间区间内任意一个已感染的人将以概率ah+o(h)引起任一指定的未被感染者成为已感染者。若我们以X(t)记时刻t群体中已受感染的个体数，则{X(t),t30}是一纯生过程，其
ì鬃?m,?(m-m)na,n=1, ln=í其它0,??1
这是因为当有n个已受感染的个体时则m-n个未受感染者的每一个将以速率na变成已感染者。
以T记直至整个群体被感染的时间，则T能表示为
T=?Ti
i=1m-1其中Ti是从i个已感染者到i+1个已感染者的时间。因为Ti是独立指数随机变量，其参数分别为li=(m-i)ia,i=1,鬃?,m1，可见
1m-11 E[T]=?
ai=1i(m-i)及
骣11 Var(T)=2?琪ai=1琪i(m-i)桫m-12
对规模合理的群体，E[T]渐近地为
1m-1骣11琪+ E[T]= ?琪mai=1桫m-ii ?2lo(gm-1m-1骣11琪dt=ò琪ma1桫m-ttma)1
5.4 柯尔莫哥洛夫微分方程
记得
Pij(t)=P{X(t+s)=j|X(s)=i}
代表过程目前处于状态i在时间t之后将处于状态j的概率。
利用马尔可夫性，我们将导出两组Pij(t)的微分方程，它们有时可求得显式解。但在此之前需要下面的引理。
引理5.4.1 （i）limt1-Pij(t)tPij(t)t=vi
（ii）limt?0=qij,i?j
引理5.4.2
对一切s，t，
Pij(t+s)=?Pi(kt)P(ksj)
k=o￥引理5.4.1从如下事实（它们必须加以证明）可得，在时间t内有两次或更多次转移的概率是o(t)；而引理5.4.2，它是离散时间马尔可夫链的切普曼——柯尔莫哥洛夫方程的连续时间的翻版，直接从马尔可夫性来推得。证明的细节留作练习。
从引理5.4.2我们得到
Pij(t+h)=?或等价地，
￥k=0PPi(k)h(k)j t轾 P1-P(h)iiP(t) ij(jt)=?P(ihk)P(t)k-ij(t+h)-Pij臌k1i除以h而后令h?0取极限，应用引理5.4.1得 limh0Pij(t+h)-Pij(t)h=lim?hPik(h)h0k1iPkj(t)-viPij(t)
假定在（5.4.1）的右边可交换极限与求和，再用引理5.4.1，于是得到下面结论。
定理5.4.3（柯尔莫哥洛夫向后方程）对一切i,j及t30，
￠Pt) Pij(t)=?qik(kj-vP(it)i jk1i证明 为完成证明必须论证（5.4.1）右边极限与求和可交换次序。现在，对于任意固定的N,
Ph liminf邋ik()Pkj(t)3liminfk0h0hk构ikik