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Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧
LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。LINGO主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。
LINGO的最新版本为LINGO7.0，但解密版通常为4.0和5.0版本，本书就以LINGO5.0为参照而编写。
1．LINGO编写格式
LINGO模型以MODEL开始，以END结束。中间为语句，分为四大部分（SECTION）： （1） 集合部分（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。这部分的作用
在于定义必要的变量，便于后面进行编程进行大规模计算，就象C语言在在程序的第一部分定义变量和数组一样。在LINGO中称为集合（SET）及其元素（MEMBER或ELEMENT，类似于数组的下标）和属性（ATTRIBUTE，类似于数组）。 LINGO中的集合有两类：一类是原始集合（PRIMITIVE SETS），其定义的格式为： SETNAME/member list（or 1..n）/：attribute,attribute,etc。 另一类是是导出集合（DERIVED SETS），即引用其它集合定义的集合，其定义的格式为：
SETNAME（set1，set2，etc。）：attribute，attribute，etc。
如果要在程序中使用数组，就必须在该部分进行定义，否则可不需要该部分。
（2） 目标与约束：这部分定义了目标函数、约束条件等。一般要用到LINGO的内部函数，
可在后面的具体应用中体会其功能与用法。求解优化问题时，该部分是必须的。 （3） 数据部分（DATA）：这部分以“DATA：”开始，以“END DATA”结束。其作用在于
对集合的属性（数组）输入必要的数值。格式为：attribut=value_list。该部分主要是方便数据的输入。 （4） 初始化部分（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“END INIT”结束。作用在于对集
合的属性（数组）定义初值。格式为：attribute=value_list。由于非线性规划求解时，通常得到的是局部最优解，而局部最优解受输入的初值影响。通常可改变初值来得到不同的解，从而发现更好的解。
编写LINGO程序要注意的几点： 1. 所有的语句除SETS、ENDSETS、DATA、ENDDATA、INIT、ENDINIT和MODEL，END之外必须以一个分号“；”结尾。 2. LINGO求解非线性规划时已约定各变量非负。
LINGO内部函数使用详解。
LINGO建立优化模型时可以引用大量的内部函数，这些函数以“@”符号打头。 （1）常用数学函数
@ABS(X) 返回变量X的绝对数值。 @COS( X)
返回X的余弦值，X的单位为弧度 @EXP( X)
1
返回e的值，其中e为自然对数的底，即2.71828?
@FLOOR( X)
向0靠近返回X的整数部分。如@FLOOR(3.7)，则返回3；@FLOOR(-3.7)，则返回-3。 @LGM( X)
返回?函数的自然对数值。 @LOG( X)
返回变量X的自然对数值。 @SIGN( X)
返回变量X的符号值，当X<0时为-1；当X>0时为1。 @SIN( X)
返回X的正弦值，X的单位为弧度 @SMAX( X1, X2,..., XN)
返回一列值X1, X2,..., XN的最大值。 @SMIN( X1, X2,..., XN)
返回一列值X1, X2,..., XN的最小值。 @TAN( X)
返回X的正切值，X的单位为弧度
(2)集合函数
集合函数的用法如下：
set_operator (set_name|condition:expression) 其中set_oprator部分是集合函数名（见下），set_name是数据集合名，expression部分是表达式，|condition部分是条件，用逻辑表达式描述（无条件时可省略）。逻辑表达式中可以三种逻辑算符（#AND#（与）,#OR#（或），#NOT#（非））和六种关系酸符（#EQ#（等于），#NE#（不等于），#GT#（大于），#GE#（大于等于），#LT#（小于），#LE#（小于等于））。
常见的集合函数如下：
@FOR (set_name：constraint_expressions)对集合(set_name)的每个元素独立地生成约束，约束由约束表达式（constraint_expressions）描述。
@MAX（set_name：expression）返回集合上的表达式（expression）的最大值。 @MIN（set_name：expression）返回集合上的表达式（expression）的最小值。 @SUM（set_name：expression）返回集合上的表达式（expression）的和。 @SIZE（set_name）返回数据集set_name中包含元素的个数。
@IN（set_name，set_element）如果数据集set_name中包含元素set_element则返回1，否则返回0。
（3）变量界定函数
变量函数对变量的取值范围附加限制，共有四种。 @BND（L,X,U）限制L?X?U @BIN（X）限制X为0或1。
@FREE（X）取消对X的符号限制（即可取任意实数值）。 @GIN（X）限制X为整数值。 （4）财务函数
@FPA(I,N)返回如下情形下的净现值：单位时段利率为I，连续N个时段支付，每个
x 2
时段支付费用，即：
@FPA(I,N)=?11N?(1?())/I n1?In?1(1?I)N@FPL(I,N)返回如下情形下的净现值：单位时段利率为I，第N个时段支付单位费用，
即：
@FPL(I,N)=(1N) 1?I
（5）概率函数
@PSN(X)标准正态分布的分布函数。
@PSL(X)单位正态线性损失函数（即返回MAX(0,Z?X)的期望值，其中Z为标准正态随机变量）
@PPS(A，X)均值为A的Possion分布的分布函数（当X不是整数时，采用线性插值进行计算）。 @PPL(X)Possion分布的线性损失函数（即返回MAX(0,Z?X)的期望值，其中Z为Possion分布随机变量）
@PBN(P，N，X)二项分布的分布函数当N或X不是整数时，采用线性插值进行计算）。 @PHG(POP，G，N，X)超几何分布的分布函数（当POP，G，N或X不是整数时，采用线性插值进行计算）。
@PFD(N,D,X)自由度为N和D的F分布的分布函数。 @PCX(N,X) 自由度为N的?分布的分布函数。
@PTD(N,X) 自由度为N的t分布的分布函数。
@RAND(X)返回0与1之间的伪随机数（X为种子数，典型用法为U(I)=@RAND(U(I+1))）。
1．某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：
班次 时间 最少需要人数 1 60 6:00—10:00 2 70 10:00—14:00 3 60 14:00—18:00 4 50 18:00—22:00 5 20 22:00—2:00 6 30 2:00—6:00 设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配
备多少名司机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型。 分析与求解：
2 3
注意在每一时间段里上班的司机和乘务人员中，既包括在该时间段内开始时报到的人员，还包括在上一时间段工作的人员。因为每一时间段只有四个小时，而每个司乘人员却要连续工作八个小时。因此每班的人员应理解为该班次相应时间段开始时报到的人员。
设xi为第i班应报到的人员（i?1,2,?,6），则应配备人员总数为：
Z??xi
i?16按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：
minZ??xi
i?16s.t.?x1?x8?60?x?x?702?1?x2?x3?60??x3?x4?50 ??x4?x5?20?x5?x6?30?x1?60???x1,x2,?,x6?0LINGO程序如下：
MODEL:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; x1>=60; END
得到的解为:
x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;
配备的司机和乘务人员最少为150人。
2 某地区有三个农场共用一条灌渠，每个农场的可灌溉地及分配到的最大用水量如下表：
农场 可灌溉地（亩） 最大用水量（百立方） 1 400 600 2 600 800 3 300 375
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