发布时间 : 星期三 文章东南大学高等数学B期末考试试卷A参考答案及评分标准更新完毕开始阅读c142f12b7175a417866fb84ae45c3b3567ecdd2b
08-09-3高数B期末试卷（A）参考答案及评分标准
09.6.8
一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
1.曲面cos(?x)?xy?e?yz?4在点(0,1,2)处的法线方程是
2xzxy?1??z?2； 222.设u?x2?2y2?3z2，则梯度gradu?14??(1,2,0)?,,0?； ?33?5； 143.已知A???2,?1,2?,B??1,?3,2?，则A在B方向的投影(A)B?x?y?1，取逆时针方向，则曲线积分
2C4.设闭曲线C:?ydx?xdy的值是?2；
5.设函数F(x,y)具有一阶连续偏导数，则曲线积分
?F(x,y)(ydx?xdy)与路径无关的充分必要
AB条件是xFx6.二重积分
?yFy；
x?y?12???e2x?cosy2xydxdy的值是0；
222?7.设S为球面：x?y?z?R，则曲面积分8.设C是折线
2???xS2?y2?z2?dS的值是4?R4；
Cy?1?1?x(0?x?2)，则曲线积分?yds的值是2；
??19.取an?（注：答案不唯一），可使得级数?an收敛，且级数?anlnn发散. 2nlnnn?2n?2二.计算下列各题(本题共4小题，满分30分)
10．（本小题满分7分）设z?f(x?(y),x?y)，其中f具有连续的二阶偏导数，?具有连续导数，
?z?2z,计算. ?x?x?y?2z?z???f1?x???f11?(x????)f12?f22（4分） ??f1?f2，（3分）解
?x?y?x11．（本小题满分7分）计算
222D?(x,y)x?y?1,x?0. ，其中(x?xy?1)dxdy????D112?33解??(x?xy?1)dxdy??0??d???d???（1+1+3+2分）
02204D2?12．（本小题满分8分）计算二次积分
120?120dx?11?x21yedy. 3yx解，
?dx?11?x2xx1?1?11?y111?1yyyedy??1dy?edx??12?e?1?dy?e?2（3+2+3分） 30??y3y22y??13.（本小题满分8分）求密度均匀分布的立体 的质心坐标.
解x?y?0（1分）z??2?0?d??4sin?cos?d??02?02cos?12r3dr??d??4sin?d??02cos?1rdr25?2524??81?2?3?2?1
?（1+1+2+2+1分）
三（14）．（本题满分7分）试求过点A(3,?1,2)且与z轴相交，又与直线L1:x?2y?3z垂直的直线方程. 解设
x?3y?1z?2为所求直线L的方程，（1分）由于直线L与z轴相交，所以三个向量??lmnlmns??l,m,n?，OA及k共面，从而3?12?0，即?l?3m?0（1），（2分）
00111m?n?0，即6l?3m?2n?0（2）（2分）联立（1），（2）2315x?3y?1z?2解得l??3m，n?（2分） m，所求直线L的方程为??26?2?15又由于L与L1互相垂直，得l?四（15）。（本题满分7分）计算
??SxdS，其中S是柱面x2?y2?2ay(a?0)被锥面 zz?x2?y2和平面z?2a所截下的部分.
??x???x?a解1??（2分） ?????22ay?y??y???z?22??SxadS?2??2zDyzz2ay?y2ay?y2d??2a?2a01dzz?z22a0dy?2a2（2+2+1分）
五（16）.（本题满分7分）计算I??excosydx??5xy?exsiny?dy，其中C为曲线
Cx?2y?y2，方向沿y增大的方向.
解记O(0,0),A(0,2),D??(x,y)0?x?2y?y2，由Green公式得
?5I?5??yd???sinydy???1?cos2（2+1+3+1分）
AO2D六（17）（本题满分7分）计算I中S为z?2?????y2?xz?dy?dz??z2?y?dz?dx?(x2?z)dx?dy，其
Sx2?y2被z?0所截部分，取上侧.
?x2?y2?4解补一个面?:?，取下侧，由S和?所围成的区域记为?，由Gauss公式得
z?0?2416I????zdv???x2dx?dy???(2?z)2zdz?4????4???（3+2+1+1分）
033??七（18）（本题满分6分）证明不等式
y1yxy(1?x)?，0?x?1，0?y???.
e证设f(x,y)?yx(1?x)，f(x,y)在区域0?x?1,0?y???的边界上恒为0，而在内部恒为正，故f的最大值只能在区域内部达到，（2分）令fx?yx(y?xy?x)?0，
yfy?xy(1?x)(1?ylnx)?0，在区域0?x?1,0?y???内求驻点，得y(1?x)?x（1）及
xy?e?1（2），（2分）这表明f(x,y)在区域0?x?1,0?y???内的最大值点应满足方程（1）
（2），然而在（1）（2）所确定的点上f(x,y)?yx(1?x)?xey?1?e?1，所以
1f(x,y)?yxy(1?x)?，0?x?1，0?y???.（2分）
e