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乌龟蛋孵化性比比例问题
摘要
本文针对在不同温度下乌龟蛋孵化性比比例问题，建立幼龟性比比和和孵化温度之间的logit模型，求解在每个乌龟蛋都能正常孵化的情况下，孵化出的幼龟性比比恰好为1 ：1时的温度，并分析温度每升高1℃，幼龟性比比的变化情况。此类问题属于统计回归问题，本文依照题中所给的数据，对三个问题建立模型并求解。
针对问题一，要求我们建立幼龟性比比和孵化温度的logit模型。首先，我们对每个温度3批乌龟蛋孵化的数据进行合并，然后建立雄龟比例与温度的logit模型，利用MATLAB求得回归系数?0??61.3183，标准差为12.0224，
?1?2.211标准差为0.4309，得到logit模型为
logit(?(x))?ln??(x)1??(x)????61.3183?2.211x。最后我们用probit模型和加入二次项的
logit模型与此时的logit模型进行比较分析，研究得出三者拟合程度不相上下，故logit模型是正确的。
针对问题二，要求我们求解在每个乌龟蛋都能正常孵化的情况下，孵化出的幼龟性比比恰好为1 ：1时的温度，由于问题一中，我们已经建立了温度与雄龟比例的logit模型，故问题二只须将雄龟的比例0.5代入logit模型皆可，利用MATLAB解得在每个乌龟蛋都能正常孵化的情况下，孵化出的幼龟性比比恰好为1 ：1时的温度为27.73℃。
针对问题三，要求我们分析温度每升高1℃，幼龟性比比的变化情况。由于logit模型中的回归系数1有很好的直观解释，它与统计中odds（发生比或优势）的概念有密切的联系，通过分析，我们发现odds比就是温度每升高1℃，幼龟性比比的变化值。故我们利用logit模型所求的回归系数1，建立了odds模型，利用MATLAB解得温度升高1℃，幼龟的雄雌性比提高9.1248倍，并通过所给数据定量分析得出结果为9.125，验证了odds模型的正确性。
本文最大的特色：从整体来说，本文所解决的属于简单的统计问题，我们不仅按照题意建立了基本模型，而且在其基础上，我们又做了进一步探究，建立了新的模型，进行对比分析，得出最优模型，使结果更具合理性。同时，我们用定量分析得出答案，并用定性分析验证结果的合理性，对问题有了更进一步的认识。
??关键词：统计回归模型 logit probit odds MATLAB
一、 问题提出
人类的性别是由基因决定的，乌龟的性别主要是由什么因素决定的呢？科学研究表明，决定幼龟性别的最关键因素是乌龟蛋孵化时的温度。为了研究温度是如何影响幼龟的雌雄比列，美国科学家对某一类的乌龟孵化过程做了实验，实验在五个不同的恒定温度下进行，每个温度下分别观察三批乌龟蛋的孵化过程，得温度/℃ 27.2 乌龟蛋个数 10 8 9 10 6 8 13 9 8 10 8 9 11 8 9 雄龟个数 1 0 1 7 4 6 13 6 7 7 5 7 10 8 9 雌龟个数 9 8 8 3 2 2 0 3 1 3 3 2 1 0 0 雄龟比例 10% 0% 11.1% 70% 66.7% 75% 100% 66.7% 87.5% 70% 62.5% 77.8% 90.9% 100% 100% 27.7 28.3 28.4 29.9 到的数据如下： （1）建立幼龟性别比和孵化温度之间的logit模型；
（2）并求出在孵化温度多大时，孵化出得幼龟的性别比恰好为1：1； （3）分析温度每升高1℃，幼龟性别比的变化情况。
二、基本假设
1、假设1；每个蛋都能成功孵化，并且不考虑除温度以外的其他因素的影响 2、假设2；五个温度是恒定的，并且不考虑空气对流情况
三、符号说明
符号 意义 乌龟蛋的孵化温度 幼龟中的雄龟比例 单位 ℃ x ?(x) Total 每组乌龟蛋的个数 每组雄龟蛋的个数 个 个 Male 四、问题分析
4.1问题一 在假设1、2成立的条件下，要求要求我们建立幼龟性比比和孵化温度的logit模型。首先，我们对每个温度3批乌龟蛋孵化的数据进行合并，然后建立雄龟比例与温度的logit模型，利用MATLAB求得回归系数和标准差等，最后我们用probit模型和加入二次项的logit模型与此时的logit模型进行比较分析，验证其是否合理。 4.2问题二
要求我们求解在每个乌龟蛋都能正常孵化的情况下，孵化出的幼龟性比比恰好为1 ：1时的温度，由于问题一中，我们已经建立了温度与雄龟比例的logit模型，故问题二只须将雄龟的比例0.5代入logit模型皆可求出此时的孵化温度。 4.3问题三
要求我们分析温度每升高1℃，幼龟性比比的变化情况。由于logit模型中的回归系数
?1有很好的直观解释，它与统计中odds（发生比或优势）的概念有
密切的联系，故我们利用logit模型所求的回归系数求解。
?1，建立odds模型，即可
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 问题一的分析
问题一要求要求我们建立幼龟性比比和孵化温度的logit模型。首先，我们对每个温度3批乌龟蛋孵化的数据进行合并，然后建立雄龟比例与温度的logit模型，利用MATLAB求得回归系数和标准差等，最后我们用probit模型和加入二次项的logit模型与此时的logit模型进行比较分析，验证其是否合理。 5.1.2 问题一模型的建立 下面用?(x)表示温度为x摄氏度时雄龟性别比例，即
?(x)?P(Y?1|x)
显然Y的（条件）期望为E(Y|x)??(x)，条件方差为D(Y|x)?(1??(x))。由（1）式可知，?(x)即为雄龟的性别比列。
为了寻找雄龟比例?(x)与温度x之间函数关系，并注意到?(x)在[0，1]区间
取值，可以建立logistic模型
e?0??1x?(x)?1?e?0??1x （4）
（1）的反函数写作
e?0??1xln??0??1?0??1x1?e （5）
（5）式左端可看作?(x)的变换，记作logit(?(x))?ln回归模型。
?(x)，称为logit
1??(x)在数据预处理时，将所研究的乌龟蛋分成k?5组，记第i组(i?1,2,...,k)温度为xi,每组的乌龟蛋数为ni，每组乌龟蛋孵化出雄龟的比例为?i=具有如下形式
mi，这时logit模型nilogit(?(x))?ln??(x)1??(x)????0??1x
其中?0，?1是回归系数。合理地设mi服从二项分布B(ni,?i),?0，?1可用最大似然法估计得到。
5.1.3 问题一模型的求解 温度/℃ 27.2 乌龟蛋个数 27 雄龟个数 2 雄龟比例 0.7407 27.7 24 17 0.7083 28.3 30 26 0.8667 28.4 27 19 0.7037 29.9 28 27 0.9642