发布时间 : 星期四 文章2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷更新完毕开始阅读c03f7e97b42acfc789eb172ded630b1c58ee9bc1
23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y． （1）若△EOF的面积为S：
①用关于x的代数式表示线段EF的长； ②求S的最大值；
（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．
【解答】解：（1）①如图1，连接OA，交EF于M， ∵AB＝AC，O为BC边中点， ∴OA⊥BC， ∵EF∥BC， ∴AM⊥EF， ∵BC＝8， ∴OB＝BC＝4，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝∵点O到EF的距离为为x， ∴OM＝x，
∴AM＝OA﹣OM＝3﹣x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴∴
， ，
＝3，
∴EF＝（2﹣x）；
第17页（共19页）
②由①知，EF＝（3﹣x），
∴S＝S△OEF＝×（3﹣x）?x＝﹣（x﹣3x）＝﹣（x﹣）+3， ∵﹣＜0，
∴当x＝时，S最大＝3；
（2）如图2，
∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合， ∴OE＝OG，过点O作OD⊥AB于D， ∴DE＝DG， 连接OA，
由（1）知，OA⊥BC，OA＝3， 在Rt△AOB中，sinB＝
＝，cosA＝
＝，
2
2
过点E作EP⊥BC于P，PE＝x， 在Rt△BPE中，sinB＝∴BE＝
＝x，
，
过点G作DQ⊥BC于Q，GQ＝y， 在Rt△BQG中，BG＝
＝y，
∴DE＝EG＝（BG﹣BE）＝（y﹣x）， 在Rt△BDO中，BD＝OB?cosB＝4×＝∴DE＝BD﹣BE＝∴（y﹣x）＝∴y＝﹣x+
﹣x， ﹣x，
，
（Ⅰ）
∵点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合）， ∴0＜y＜3（Ⅱ）， 由（Ⅰ）（Ⅱ）得，﹣
＜x＜
第18页（共19页）
∵x＞0， ∴0＜x＜
（0＜x＜
）．
即：y＝﹣x+
第19页（共19页）