发布时间 : 星期六 文章高考大一轮总复习2.6对数与对数函数更新完毕开始阅读bef5738a59f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e9243c
[易错防范] 1.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围．
真题演练集训
1．[2015·湖南卷]设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案：A
??1＋x>0，解析：由?得－1 ?1－x>0，? C．(2，＋∞) 答案：D D．(－∞，－2) 解析：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝log1 t与t 2＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log1 t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减， 2所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D. 4．[2014·福建卷]若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) 11 ＋x)＝－f(x)，∴ f(x)为奇函数．f′(x)＝－，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上 1＋x1－x为增函数．故选A. 2．[2015·陕西卷]设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f?列关系式中正确的是( ) A．q＝r＜p C．p＝r＜q 答案：C a＋ba＋b?解析：因为b＞a＞0，故＞ab.又f(x)＝ln x(x＞0)为增函数，所以f?2?2?＞f(ab)，即11 q＞p.又r＝[f(a)＋f(b)]＝(ln a＋ln b)＝lnab＝p. 22 3．[2014·天津卷]函数f(x)＝log1 (x2－4)的单调递增区间为( ) 2A．(0，＋∞) a＋b?1 ，r＝[f(a)＋f(b)]，则下 2?2? B．q＝r＞p D．p＝r＞q A B C D 9 B．(－∞，0) 答案：B 解析：因为函数y＝logax过点(3,1)，所以1＝loga3，解得a＝3，所以y＝3 －x 1 0，?∪[5，＋∞) B.??5? 不可能过点 1 0，?∪[5，＋∞) C.??5?1?D.??5，1?∪(1,5] [审题视角] 当函数y＝f(x)与y＝loga|x|有5个交点时，求实数a的取值范围． [解析] 依题意知，函数f(x)的周期为2，在平面直角坐标系内画出函数y＝f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图． (1,3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1,1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B. 5 5．[2016·浙江卷]已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________. 2答案：4 2 515 解析：由于a>b>1，则logab∈(0,1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab 2logab21 21 ＝或logab＝2(舍去)，所以a ＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，2所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4. 6．[2015·浙江卷]若a＝log43，则2a＋2a＝________. － 43答案： 3 1 解析：∵ a＝log43＝log223＝log23＝log23， 2log23－log2 ∴ 2a＋2＝2 ＋2 －a 1 结合图象可知，要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则有0 51 0，?∪[5，＋∞)．故选B. 的取值范围是??5?[答案] B 课时跟踪检测(九) 3 3log2 3 ＝3＋2 ＝3＋ 343＝. 33 课外拓展阅读 数形结合思想在对数函数中的应用 [典例] [2017·江西七校联考]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1 A．(1,5) 10 [高考基础题型得分练] 1．[2017·江西南昌一模]函数y＝A．[1,2] 1? C．??2，1? 答案：D log2 ?2x－1?的定义域是( ) 3 B．[1,2) 1?D．??2，1? 1 解析：由log2 (2x－1)≥0?0<2x－1≤1? 2 3 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( ) A．log2x 1C．logx 2答案：A 解析：由题意知f(x)＝logax， ∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x. 3．[2017·河北石家庄模拟]已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＝b 解析：因为a＝log23＋log2 log32 4．已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A．d＝ac C．c＝ad 答案：B 解析：由已知得b＝5a，b＝10c,5d＝10， ∴5a＝10c,5d＝10，同时取以10为底的对数可得， c1 alg 5＝c，dlg 5＝1，∴＝，即a＝cd. ad 5．[2017·福建朋口中学高三上期中]已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为( ) A．(0,1) B．(1,2) B．a＝cd D．d＝a＋c 3 3＝log233＝log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝ 2 B．a＝b>c D．a>b>c 1B．x 2D．2x2 － C．(0,2) 答案：B D．[2，＋∞) 解析：因为f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，所以f(0)>f(1)，即loga2>loga(2－a)，所以 ??a>1，?所以1 ??log2x，x>0，1 log3?的值是( ) 6．[2017·江西八校联考]已知函数f(x)＝?－x则f(f(1))＋f??2??3＋1，x≤0，? A．5 C．－1 答案：A 解析：由题意可知f(1)＝log21＝0， f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2， B．3 7 D． 2 1log3 21－log2 log3?＝3f? ＋1＝33 ＋1＝2＋1＝3， ?2?1 log3?＝5. 所以f(f(1))＋f??2?31 x2＋x?(a>0，a≠1)在区间?，＋∞?内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增7．若函数f(x)＝loga?2???2?区间为( ) A．(0，＋∞) C．(1，＋∞) 答案：A 13?解析：令M＝x2＋x，当x∈??2，＋∞?时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1. 2 339 x＋?2－，因此M的单调递增区间为?－，＋∞?. 所以函数y＝logaM为增函数，又M＝??4?16?4?33 又x2＋x>0，所以x>0或x<－. 22 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． B．(2，＋∞) 1?D．??2，＋∞? 11 8．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则点A的坐标是________． 答案：(1,0) 9．函数y＝log1 (x2－2x)的定义域是________；单调递减区间是________． 2答案：(－∞，0)∪(2，＋∞) (2，＋∞) 解析：由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2， ∴函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)． ∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴函数y＝log1 (x2－2x)的单调递减区间为(2，＋∞)． 2 ?－x＋6，x≤2，? 10．若函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范 ??3＋logax，x>2 A．{－1，2} C．{－1} 答案：D 1 解析：当x≤0时，2x＝，x＝－1； 212 当0 221 当x>1时，log2x＝，x＝2. 2 ?2??故所求解集为－1，2，?. 2?? B．?2，??? ? 2? ? 2? 2?? 2? D．?－1，2， 围是________． 答案：(1,2] 解析：当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)， 当x＞2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意， ∴a＞1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)． 由题意可知(3＋loga2，＋∞)?[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2. [冲刺名校能力提升练] 222 1．[2017·皖北联考]设a＝log3，b＝log5，c＝log7，则( ) 357A．c>b>a C．a>c>b 答案：D 222 解析：因为log3＝log32－1，log5＝log52－1，log7＝log72－1，log32>log52>log72，故 357a>b>c. x ??2，x≤0，1 2．[2017·河南开封模拟]设函数f(x)＝?则方程f(x)＝的解集为( ) 2?|log2x|，x>0，? 3．[2017·湖北黄冈模拟]已知函数f(x)＝ln 504(a＋b)，则a2＋b2的最小值为( ) A．6 C．9 答案：B 解析：∵f(x)＋f(e－x)＝ln e??2e?ex?2 016e?＝，若f?＋f＋?＋f?2 017??2 017??2 017?e－x B．8 D．12 e?e－x?ex ＋ln＝ln e2＝2， xe－x e??2e??2 012e? ∴504(a＋b)＝f?＋f＋?＋f?2 017??2 017??2 017?1?e??2 016e??2e??2 015e??2 016e?＋f?e?? ＝?f＋f＋f＋f＋?＋f?2 017??2 017??2??2 017??2 017??2 017??2 017?1 ＝×(2×2 016)＝2 016，∴a＋b＝4， 2 ?a＋b?242 ∴a＋b≥＝＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号． 22 2 2 B．b>c>a D．a>b>c 4．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 81，? 答案：??3? 12 解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数， 由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1， 即8－2a>a，解得1 3 . 当0 即8－a 2 x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2 －1)>－2. 解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log1 (－x)． 2因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以函数f(x)的解析式为 ?log1 x，x>0，2 f(x)＝?0，x＝0， ?log1 ?－x?，x<0.2 (2)因为f(4)＝log1 4＝－2，f(x)是偶函数， 2所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－5 (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2， 因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]． (2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)，得 (3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0,2]时，k 因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝3 2时取等号， 所以4t＋9 t －15的最小值为－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)． 13