发布时间 : 星期六 文章高考大一轮总复习2.6对数与对数函数更新完毕开始阅读bef5738a59f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e9243c
§2.6 对数与对数函数
考纲展示? 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念,和对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1).
考点1 对数的运算
1.对数的概念
如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作________,其中________叫做对数的底数,________叫做真数.
答案:x=logaN a N 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则:
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=____________; ②logM
aN=____________;
③logaMn=________(n∈R); ④logMn=n
ammlogaM.
(2)对数的性质:
①alogaN=________;②logaaN=________(a>0且a≠1).
1
(3)对数的重要公式:
①换底公式:loglogbN=aN
logab(a,b均大于0且不等于1);
②log1
ab=log,推广logbaab·logbc·logcd=________.
答案:(1)①logaM+logaN ②logaM-logaN ③nlogaM (2)①N ②N (3)②logad
(1)[教材习题改编]lg5+lg20的值是( )
A.12 B.1 C.10 D.100
答案:B
(2)[教材习题改编](log29)·(log34)=( ) A.14 B.12
C.2 D.4 答案:D
(3)[教材习题改编]已知log=m,求lg 3lg 4
53=a,log54=b,lg 2a+b的值(用m表示).解:lg 3lg 4a+b=lg 3lg 3+lg 4
lg 4
=2lg 5
lg 5lg 5=2(1-lg 2)=2(1-m).
误用对数运算法则.
(1)log39134-log34+??3??-1
=________.
(2)(log29)·(log34)=________.
答案:(1)2 (2)4
39?11
÷+3=log3+3=-1+3=2. 解析:(1)原式=log3??44?3lg 9lg 4
(2)解法一:原式=·
lg 2lg 32lg 3·2lg 2==4.
lg 2·lg 3
log24解法二:原式=2log23· log23=2×2=4.
log23=3×2 =33. (lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25 =(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5 =(1+1)lg 2+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)=2.
1?x???,x≥4,2??(3)已知函数f(x)=?则f(2+log23)的值为________.
??f?x+1?,x<4,
[答案]
1
24
11
[典题1] (1)设2a=5b=m,且+=2,则m=( )
abA.10 C.20 [答案] A
1111
[解析] 由已知,得a=log2m,b=log5m,则+=+=logm2+logm5=logm10
ablog2mlog5m=2.解得m=10. (2)计算:log2
2
=________; 2
B.10 D.100
[解析] 因为2+log23<4, 所以f(2+log23)=f(3+log23), 而3+log23>4,
1?3log31?1? log3
+所以f(3+log23)=??2?2=8×?2?2 111
=×=. 8324
[点石成金] 对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
考点2 对数函数的图象及应用
2log23+log43=________;
(lg 2)+lg 2·lg 50+lg 25=________. 1
[答案] - 33 2
2[解析] log21=-;
2
2log23+log43=2 log23·2 log43=3×2 log43
2
2
21
=log22-log22=-1 22
对数函数的图象 y=logax a>1 0 解析:由>0得x>3或x<-2, x+2 x-3 所以函数f(x)=lg的定义域为{x|x>3或x<-2}; x+2 ?x+2>0,?由? 得x>3,所以函数g(x)=lg(x-3)-lg(x+2)的定义域是{x|x>3}.可以看出f(x)?x-3>0? 与g(x)不是同一函数. 图象 (2)[2014·天津卷]函数f(x)=lg x2的单调递减区间是________. 答案:(-∞,0) 解析:函数f(x)=lg x2的单调递减区间需满足x2>0且y=x2单调递减,故x∈(-∞,0). (1)[教材习题改编]函数y=log2(x+1)的单调递增区间是________. 答案:(-1,+∞) 解析:由x+1>0得x>-1,且函数y=log2x在定义域内是增函数,所以原函数的单调递增区间是(-1,+∞). (2)函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过的点是________. 答案:(2,2) 解析:因为对数函数y=logax的图象恒过点(1,0),所以函数y=loga(x-1)的图象恒过点(2,0),所以函数y=loga(x-1)+2的图象恒过点(2,2). [典题2] (1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( ) 对数函数常见两误区:概念;性质. (1)函数f(x)=lg________. 答案:{x|x>3或x<-2} {x|x>3} x-3 的定义域是________,函数g(x)=lg(x-3)-lg(x+2)的定义域是x+2 A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 [答案] D [解析] 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1. 3 又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1. (2)当0<x≤1 2时,4x<logax,则a的取值范围是( ) A.?2? 0, 2?? B.?2?2,1? ? C.(1,2) D.(2,2) [答案] B [解析] 由题意,得 当0<a<1时,要使得4x<logax?? 0 2时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方. 1又当x=1 2时,42 =2,即函数y=4x的图象过点?1?2,2??. 把点?1?2,2??代入函数y=logx,得a=2 a2 . 若函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则需 2 2 <a<1(如图所示). 当a>1时,不符合题意,舍去. 所以实数a的取值范围是? 2?2,1? ? . [题点发散1] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x-1)2 解:设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2 当01时,如图. 要使当x∈(1,2)时f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的图象下方,只需f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2, 又即loga2≥1, 所以1 [题点发散2] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x-1)2 解:不等式logax>(x-1)2恰有三个整数解,画出图象可知a>1,其整数解集为{2,3,4},则 应满足???loga4>?4-1?2 ,??log a 5≤?5-1?2 , 4