发布时间 : 星期六 文章振动力学各章作业题解()更新完毕开始阅读be27a07aa26925c52cc5bfa5
??1??y?1?3?3????1??[QN]{ZN}??m?2l????2??3?3??2l?032l232l2??1?3??1cos?t?1??2??3?3???my0?? 0?2l???1?3?cos?3t?3?3???2????2l??1?3?1?3cos?t?cos?t?13?22????3?3??y0?cos?1t?cos?3t?。】
2l2l???3?3?cos?t?cos?t??132l2l????
6.29 题6.23图系统中，若初始条件为x01?x02?x03?x0，
?01?x?02?x?03?0。求初始激励的自由振动响应。 x【解：（1）利用能量方法建立振动方程。
先计算各质量的速度。用水平坐标x和铅垂坐标y表示： x1?lsin?1,y1?lcos?1，
x2?lsin?1?lsin?2,y2?lcos?1?lcos?2，
x3?lsin?1?lsin?2?lsin?3,y3?lcos?1?lcos?2?lcos?3，
题6.23图
?cos?,y?sin?， ?1?l??1??l?求导得速度：x1111?cos??l??cos?,y?sin??l??sin?， ?2?l??2??l?x11221122?cos??l??cos??l??cos?,y?sin??l??sin??l??sin?， ?3?l??3??l?x1122331122331112222?12?y?12)?m(x?2?2?3?3动能T?m(x?y)?m(x?y) 2221?2?1ml2??2???2?2?????ml2?11212cos(?1??2) 22??1?2???2???2?2???????????ml2???12312cos(?1??2)?213cos(?1??3)?232cos(?3??2) 2??1?2?2??2???2?4???????? ?ml23?12312?2?1?3?2?3?22??势能V?mg(l?y1)?mg(2l?y1?y2)?mg(3l?y1?y2?y3)
111?mgl?12?mgl(?12??22)?mgl(?12??22??32) 222?321??300??，[K]?mgl?020?。 [M]?ml2?221???????111???001??（2）求固有频率和振型。 3mgl?3ml2?2[K]??2[M]??2ml2?2?ml2?22?2ml2?22mgl?2ml2?2?ml2?23?ml2?2?ml2?2?0 mgl?ml2?2g?g??g?即：??9?4?18???2?6???0
l?l??l?6g2g2g求得固有频率：?12?0.41577,?2?2.29428,?3?6.289945，
lll?1??1??1???????代入特征值问题求得振型：{?(1)}??1.292?，{?(2)}??0.353?，{?(3)}???1.645?。
?1.631???2.398??0.767???????（3）求标准振型矩阵。
主质量：M1?{?(1)}T[M]{?(1)}?21.62ml2， 同理：M2?3.92ml2，M2?1.431ml2 ?0.2150661971?0.277865526标准振型矩阵：[QN]?lm???0.3501277680.5050762720.178291924-1.2111729010.835949771?-1.375137373??。 0.641173474??（4）初始条件标准化。
?321??x0???x? {ZN0}?[QN]T[M]{x0}?[QN]Tml2?221???0?????111???x0??mlx0?3.7301081170.2883985510.063532183?
T?}?[Q]T[M]{x?0}?{000}T 同理：{ZN0N（5）标准坐标响应 ZN1?ZN10cos?1t??ZN10sin?1t?3.730108117mlx0cos?1t，
?1同理： ZN2?0.288398551mlx0cos?2t，ZN3?0.063532183mlx0cos?3t （6）广义坐标响应
??1??0.2150661971???0.277865526??2??[QN]{ZN}??lm?????0.350127768?3??3.730108117cos?1t???mlx0?0.288398551cos?2t??0.063532183cos?t?3???0.802220167?x0??1.036468455??1.3060144310.1456632650.051419133-0.349300510.5050762720.178291924-1.2111729010.835949771?-1.375137373???0.641173474??
0.053109713??cos?1t???-0.087365479?cos?t??。】 2???0.04073515???cos?3t?
6.33题6.33图系统中，激振力F0sin?t加在中间质量上，求第一个质量的稳态响应。
题6.33图
?100??2?10??，[K]?k??12?1?。 010【解：（1）[M]?m????????001???0?12??（2）求固有频率和振型。 2k?m?2[K]??2[M]??k0?k2k?m?2?k0?k?0 2k?m?2求得固有频率：?12?(2-2)k2k2k,?2?2,?3?(2+2)， mmm?1??1??1???????代入特征值问题求得振型：{X(1)}??2?，{X(2)}??0?，{X(3)}???2?。
??1??1??1???????（3）求标准振型矩阵。
主质量：M1?{X(1)}T[M]{X(1)}?4m，同理：M2?2m，M2?4m ?11?标准振型矩阵：[QN]??22m???120?21???2?。
?1??（4）对激振力标准化。 ?11?T{PN}?[QN]{P}??22m???120?21??0?2F0sin?t?????1???2??F0sin?t???0?
2m?????01??2Fsin?t??0???（5）标准坐标响应 ??}??2{Z}?{P} {ZNiNNZN1?2F02m(???)212sin?t，ZN2?0,ZN3??2F02m(???)232sin?t
（6）广义坐标响应 ?1?x1?1????2?x2??[QN]{ZN}?2m??x??3???120?2?1?1???12??2???2F???0?2??0sin?t ?2m???1?1????22????3????1????0?sin?t。】 ?1????1????2F0?F0k11??0sin?t?????4m??12??2?32??2???m2?4?4km?2?2k2?1?