发布时间 : 星期四 文章高中数学人教A版第一章三角函数章末复习课导学案新必修4_181更新完毕开始阅读baa483c429160b4e767f5acfa1c7aa00b42a9dd5
第一章 三角函数
学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.
1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； (3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0). 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1.
πsin α??(2)商数关系：tan α＝ ?α≠kπ＋，k∈Z?. 2cos α??3.诱导公式
π
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改
2变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数 2
2
yxyxy＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 {x|x∈R且x≠ 定义域 R R kπ＋，k∈Z? ?π2?值域 [－1，1] [－1，1] 对称轴：x＝R 对称中心：?π对称轴：x＝kπ＋2对称性 kπ(k∈Z)； ?kπ，0???2?(k∈Z)；对称中心：(kπ，对称中心：(k∈Z)，无对称轴 1
0)(k∈Z) ?kπ＋π，0???2??(k∈Z) 偶函数 最小正周期：2π 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在π在开区间(kπ－，2奇函数 最小正周期：π 奇偶性 周期性 在奇函数 最小正周期：2π 错误! (k∈Z)上单调递单调性 增；在?π＋2kπ，3π ＋2kπ? [2kπ，π＋?2?2??2kπ](k∈Z)上(k∈Z)上单调递减 单调递减 kπ＋)(k∈Z)上递增 π2在x＝π在x＝＋2kπ(k∈Z)时，22kπ(k∈Z)时，最值 ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 π2ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 无最值
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，25
且sin θ＝－，则y＝ .
5答案 －8
25222
解析 r＝x＋y＝16＋y，且sin θ＝－，
5所以sin θ＝＝yr25＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8. 2
516＋yy反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨
2
yrxr
论.
跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t.
r＝x2＋y2＝?4t?2＋?－3t?2＝5|t|.
当t＞0时，r＝5t，sin α＝y＝
－3tr5t＝－3
5
，
cos α＝x4tr＝5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－3
4；
当t＜0时，r＝－5t，sin α＝y－3t3
r＝－5t＝5，
cos α＝xr＝4t－5t＝－4y－3t3
5，tan α＝x＝4t＝－4
.
综上可知，sin α＝－343
5，cos α＝5，tan α＝－4 或sin α＝35，cos α＝－43
5，tan α＝－4
. 类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2 已知关于x的方程2x2
－(3＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos 求：
cos2
??3π－θ??π?(1)?2??sin??2＋θ?cos??π＋?
1＋tan?π－θ；
?2－θ???
＋cos?－π－θ??(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值. 解 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋1
2
， sin θcos θ＝m2
. 2
(1)原式＝sinθcos θsin θ－cos θ＋1－tan θ
2
＝sinθcos θsin θ－cos θ＋ 1－
sin θcos θ ，θ∈(0，2π).3
θ
sinθcosθ＝－ sin θ－cos θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝
3＋1
. 2
3＋1
， 2
22
(2)由sin θ＋cos θ＝两边平方可得
4＋23
1＋2sin θcos θ＝，
4
m31＋2×＝1＋，
22m＝3. 2
332
可解方程2x－(3＋1)x＋＝0， 22
(3)由m＝
13
得两根和. 221
sin θ＝，?2?∴?
3
cos θ＝??2
3
?sin θ＝，?2 或 ?
1
cos θ＝.??2
∵θ∈(0，2π)， ππ
∴θ＝或.
63
sin α22
反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sinα＋cosα＝1及＝tan α，并能应用两个
cos α关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin
α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
π
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不
2变，符号看象限.
sin?π－α?·cos?2π－α?·tan?－π＋α?
跟踪训练2 已知f(α)＝. sin?－π＋α?·tan?－α＋3π?(1)化简f(α)；
1ππ
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
842
2
4