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第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案(word版)
如图，考虑右半圆环相对于轴的角动量，在?角位置处取角度增量??，圆心角??所对圆弧?l的质量为?m???l（?其角动量为?L??m?r???l?rRsin????Rr?z???R?S ⑧ 式中r是圆环上? 角位置到竖直轴OO?的距离，?S为两虚线间
窄条的面积．⑧式说明，圆弧?l的角动量与?S成正比. 整个圆环（两个半圆环）的角动量为
2?m0），2?Rm0?R21L?2??L?2??R?m0R2? ⑨
2?R22[或：由转动惯量的定义可知圆环绕竖直轴OO?的转动惯量J等于其绕过垂直于圆环平面的对称轴的转动惯量的一半，即
11J?m0R2 ⑧ 则角动量L为L?J??m0R2? ⑨ ]
2212同理有L0?m0R?0 ⑩
2 力N及其反作用力不做功；而T及其反作用力的作用点无相对移动，做功之和为零；系统机械能守恒. 故
1Ek0?Ek?2?mgR(1?cos?)?2?m[v2?(?Rsin?)2] ?
2式中Ek0和Ek分别为圆环以角速度?0和?转动时的动能．圆弧?l的动能为
111?Ek??m(r?)2???l?2rRsin???R?2?S
222整个圆环（两个半圆环）的动能为
21m012?REk?2??Ek?2???R???m0R2?2 ? 22?R2412122[或：圆环的转动动能为Ek?J??m0R? ? ]
24122同理有Ek0?m0R?0 ?
4 根据牛顿第三定律，圆环受到小球的竖直向上作用力大小为2Ncos?，当
2Ncos??m0g ?
时，圆环才能沿轴上滑．由⑥⑦⑨⑩?? ?式可知，?式可写成
2m0?0Rcos?6mcos??4mcos??m0?2g式中，g是重力加速度的大小.
22??m0?1?(m?4msin2?)2??0 ?
0??
（2）此时由题给条件可知当?=30?时，?式中等号成立，即有
23m0R?0?9? ??23?m?m0?4g?2?2??m0(93?12)m?23m02g1? ? ?(m?m)2?或?0?(m0?m)3(2m?m)mmR0?? 00由⑦⑨⑩?式和题给条件得??m0m0(93?12)m?23m02m0g ? ????00m0+4msin2?m0+m3(2m0?m)mR223m0+(12?3)mm0?33m2由?????式和题给条件得 v?gR ?
6(2m0?m)m
评分标准：本题24分．第（1）问18分，①②③④⑤式各1分，⑥⑦式各2分，⑨⑩式各1分，?式2分，??式各1分，?式2分，?式1分；第（2）问6分，???式各2分． 五、（20分）（1）设圆盘像到薄凸透镜的距离为v. 由题意知：u?20cm, f?10cm，代入透镜成像公式
111??vuf ①
得像距为
v?20cm ②
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其横向放大率为
?????1 ③
vu可知圆盘像在凸透镜右边20cm，半径为5cm，为圆盘状，圆盘与其像大小一样.
（2）如下图所示，连接A、B两点，连线AB与光轴交点为C点，由两个相似三角形?AOC与?BB'C的关系可求得C点距离透镜为15cm. 1分
若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm处，此时圆形光阑在C点左侧. 1分
当圆形光阑半径逐渐减小时，均应有光线能通过圆形光阑在B点成像，因而圆盘像的形状及大小不变，而亮度变暗. 2分
此时不存在圆形光阑半径ra使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半．1分
A O
C B' B
（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm处，此时圆形光阑在C点（距离透镜为15cm）的右侧. 由下图所示，此时有:
CB'=BB'=5cm, R'B'=2cm,
利用两个相似三角形?CRR'与?CBB'的关系，得r?RR'=CR'5?2?BB'=?5cm?3cm ④ CB'5可见当圆盘半径r?3cm（光阑边缘与AB相交）时，圆盘刚好能成完整像，但其亮度变暗 4分
C R' B'
R
B
若进一步减少光阑半径，圆盘像就会减小．当透镜上任何一点发出的光都无法透过光阑照在原先像的一半高度处时，圆盘像的半径就会减小为一半，如下图所示．此时光阑边缘与AE相交，AE与光轴的交点为D，由几何关系算得D与像的轴上距离为
20cm. 此时有 7620DR'=cm, DE'=cm, EE'=2.5cm,
77利用两个相似三角形?DRR'与?DEE'的关系，得
DR'20/7?2?EE'=?2.5cm?0.75cm ⑤ ra?RR'=DE'20/7
可见当圆形光阑半径ra=0.75cm，圆盘像大小的半径的确变为（1）中圆盘像大小的半径的一半 3分
DR' R E'
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E
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（4）只要圆形光阑放在C点（距离透镜为15cm）和光屏之间，圆盘像的大小便与圆形光阑半径有关． 2分
（5）若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方6cm处，则当圆形光阑半径逐渐减小时，圆盘像的形状及大小不变，亮度变暗； 2分
同时不存在圆形光阑半径使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半． 1分
评分标准：第（1）问3分，正确给出圆盘像的位置、大小、形状，各1分； 第（2）问5分，4个给分点分别为1、1、2、1分；
第（3）问7分，2个给分点分别为2、3分；第（4）问2分，1个给分点为2分；第（5）问3分，2个给分点分别为2、1分．
六、（22分）
（1）固定金属板和可旋转金属板之间的重叠扇形的圆心角? 的取值范围为??0????0．整个电容器相当于2N个相同的电容器并联，因而
C(?)?2NC1(?)
①
式中C1(?)为两相邻正、负极板之间的电容
C1(?)?A(?) 4?ks ②
这里，A(?)是两相邻正负极板之间相互重迭的面积，有
?122?R(?0??), 当??0??????0??2A(?)??
12?2?R(2?0??), 当???0????0 ??2 ③
由②③式得
?R2(?0??), 当??0??????0??4?ksC1(?)??2
R(2???)0?, 当???0????0 ??4?ks ④
由①④式得
?NR2(?0??), 当??0??????0??2?ksC(?)??2
NR(2???)0?, 当???0????0 ?2?ks?
⑤
（2）当电容器两极板加上直流电势差E后，电容器所带电荷为
Q(?)?C(?)E 当?
充电稳定后电容器所带电荷也达到最大值Qmax，由⑥式得
断开电源，在转角?取? ⑥
?0时，电容器电容达到最大值Cmax，由⑤式得
NR2?0 Cmax?2?ks ⑦
QmaxNR2?0?E 2?ks ⑧
?0附近的任意值时，由⑤⑧式得，电容器内所储存的能量为 2QmaxNR2?02E2U(?)?? 当??0??????0 ⑨
2C(?)4?ks(?0??)设可旋转金属板所受力矩为T(?)（它是由若干作用在可旋转金属板上外力Fi产生的，不失普遍性，可认为Fi的方向垂直于转轴，其作用点到旋转轴的距离为ri，其值Fi的正负与可旋转金属板所受力矩的正负一致），当金属板旋转??（即从?变为????）后，电
T(?)???(?Firi)????Fi?li??U(?) 容器内所储存的能量增加?U，则由功能原理有 ⑩
式中，由⑨⑩式得
NR2?02E2?U(?)T(?)?? 当??0??????0
??4?ks(?0??)2
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?
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当???0?
?2 时， T(?)发散，这表明所用的平行板电容公式需要修改．当电容器电容最大时，充电后转动可旋转金属板的力矩为
NR2E2??U?T??? ???????04?ks ?
（3）当V?V0cos?t，则其电容器所储存能量为
1U?CV221?11???(Cmax?Cmin)?(Cmax?Cmin)cos2?mt?V02cos2?t2?22???1?11?2(C?C)?(C?C)cos2?tV0(1?cos2?t)maxminmaxminm?4?22??20?
V?(Cmax?Cmin)?(Cmax?Cmin)cos2?t?(Cmax?Cmin)cos2?mt?(Cmax?Cmin)cos2?mtcos2?t?8V02?{(Cmax?Cmin)?(Cmax?Cmin)cos2?t?(Cmax?Cmin)cos2?mt81 ?(Cmax?Cmin)[cos2(?m??)t?cos2(?m??)t]}2
由于边缘效应引起的附加电容远小于Cmax，因而可用⑦式估算Cmax．如果?m??，利用⑦式和题设条件以及周期平均值公式
cos2?t=0, cos2?mt=0, cos2(?m??)t=0, cos2(?m??)t=0 ?
可得电容器所储存能量的周期平均值为
?
1(1??)NR222U1?(Cmax?Cmin)V0?V0
832ks
如果?m??，?式中第4式右端不是零，而是1．利用⑦式和题设条件以及周期平均值公式的前3式得电容器所储存能量的周期
111(3??)NR22222U2?(Cmax?Cmin)V0?(Cmax?Cmin)V0?(3Cmax?Cmin)V0?V08161664ks平均值为 ?
由于边缘效应引起的附加电容与忽略边缘效应的电容是并联的，因而Cmax应比用⑦式估计Cmax大；这一效应同样使得Cmin?0；可假设实际的(Cmax?Cmin)近似等于用⑦式估计Cmax．如果?m??，利用⑦式和题设条件以及周期平均值公式
cos2?t=0, cos2?mt=0, cos2(?m??)t=0, cos2(?m??)t=0
?
?
可得电容器所储存能量的周期平均值为
1(1?2?)NR222U1?(Cmax?Cmin)V0?V0
832ks[如果?m??，?中第4式右端不是零，而是1．利用⑦式和题设条件以及周期平均值公式?的前3式得电容器所储存能量的周期平均值为 ]
111(3?4?)NR22222U2?(Cmax?Cmin)V0?(Cmax?Cmin)V0?(3Cmax?Cmin)V0?V0 ?
8161664ks因为 U2?U1，则最大值为U2，所对应的?m为
?m??
?
评分标准：本题22分．第（1）问6分，①②式各1分，③⑤式各2分；第（2）问9分，⑥⑦⑧⑨⑩式各1分（⑩式中没有求和号的，也同样给分；没有力的符号，也给分），??式各2分；第（3）问7分，??式各2分，???式各1分．
七、（26分）（1）通有电流i的钨丝（长直导线）在距其r处产生的磁感应强度的大小为
iB?km
r ①
? d 图(a)
由右手螺旋定则可知，相应的磁感线是在垂直于钨丝的平面上以钨丝为对称轴的圆，磁感应强度的方向沿圆弧在该点的切向，它与电流i的方向成右手螺旋．
两根相距为d的载流钨丝（如图（a））间的安培力是相互吸引力，大小为
km?Li2 F?B?Li?d ②
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