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用判别式法求函数值域的问题分析
江苏省奔牛高级中学 陆超群
利用一元二次方程根的判别式求某些函数的值域，由于解题过程中常用到变形，往往导致错误．因此，许多师生认为该种方法不可靠而回避它，或者只有当函数定义域为R时才使用该方法．那么，到底是什么原因导致错误？解题过程中应注意什么？下面就常见的两类问题作一分析．
第一类问题：如果函数y?f(x)隐含于方程a(y)x2?b(y)x?c(y)?0中，因方程有实数根，通过???b(y)?2?4a(y)c(y)?0求出y的范围（设为集合M），若存在y0?M，使a(y0)?0，为什么有时要从M中除去y0，而有时不要？
例1：已知函数y?f(x)满足方程x2y?xy?x2?x?y?1?0，求函数y?f(x)的值域． 解：原方程可变为(y?1)x2 ?(y?1)x?y?1?0 (1)，∵x?R，由??0解得
?1?y?53．但当y??1时，方程（1）不成立，说明y??1不是函数y?f(x)的值，必须除去．因
??5?3?此函数y?f(x)的值域应为M??y?1?y??．
例2：已知函数y?f(x)满足方程x2y?4xy?3y?2x?0，求函数y?f(x)的值域． 解：原方程可变为yx2?(4y?2)x?3y?0，∵x?R，由??0解得
y??2?3或y??2?3．当y?0时x?0，说明y?0是函数y?f(x)的值，因此函数y?f(x)的值域为M?yy??2?3或y??2?3．
结论一：若函数y?f(x)隐含于方程a(y)x2?b(y)x?c(y)?0(2)中，此时可把方程(2)看作x的二次方程．因方程（2）有实根，所以其判别式???b(y)?2?4a(y)c(y)?0(3)，解不等式（3）所得到的y的范围（用集合M表示）有可能是函数y?f(x)的值域．但M是否为函数y?f(x)的值域还应分以下两种情况讨论：
1．若对于任意的y?M，有a(y)?0，由一元二次方程根的判别式可知，方程（2）有实根与不等式（3）是互为充要的条件，所以y?f(x)的值域为M．
2．若存在y0?M，使a(y0)?0，则方程（2）为一次方程b(y0)?c(y0)?0(2)'，这时又可分为两种情况讨论：①若b(y0)?0，方程(2)'有解，所以函数y?f(x)的值域为M．②若
b(y0)?0且c(y0)?0b(y0)?0且c(y0)?0??时，方程(2)'为恒等式，显然有解，所以函数y?f(x)的值域为M．当时，方程(2)'无解，这说明y0不是函数y?f(x)的值，因此函数y?f(x)的值域应是M除去y0之后得到的集合．
第二类问题：当函数y?f(x)以分式形式给出时，常见问题的特征及解决问题的方法． 问题一：若函数y?f(x)以分式形式给出，是否只有当定义域为R时才可用判别式法求值域？
例3：求函数y?22xx2?4x?3的值域．
解：两边乘以x?4x?3得yx2?(4y?2)x?3y?0(4)，当x?1或x?3时分母虽然为零，但分子2x?o，显然x?1或x?3不是方程（4）的解，因此y?的，以下解法仿照例2．
2xx2?4x?3与方程（4）是等价
例4： 求函数y?x2?3x?5x?1的值域．
解：两边乘以x?1得x2?(3?y)x?y?5?0(5)，当x?1时分母虽然为零，但分子
x2?3x?5?0，显然x?1不是方程（5）的解，因此y?x2?3x?5x?1与方程（5）是等价的．
∵x?R，由??0解得y?11或y??1．∴函数y?f(x)的值域为M??yy?11或y??1?．
分析：类似于例3、例4的问题，虽然函数f(x)的定义域不为R，但去分母前后两个方程是等价的，故仍可用判别式法求函数的值域．
问题二：若函数y?f(x)以分式形式给出，当分子、分母有公因式时，应注意什么？
例5：求函数y?解：y?2xx22xx2?2x?4?4x?32的值域．
，∵由函数的定义域知x?1，∴y?2x?4x?3(6)?2x?4?4x?32xx22?2(x?1)(x?2)(x?1)(x?3)
由函数（6）易知 y?2，因为x?1，所以把x?1代入（6）所求得的y的值?3必须除去．所以函数y?2?2x?4?4x?32的值域应该为M??yy?2且y??3?．
例6：y?解：y?x?3x?2x?1(x?1)(x?2)x?1)
?x?2(7)，由（7）易知y?R，但因为x?1，所以把x?1代入
x?3x?2x?12（7）所求得的y的值?1必须除去．所以函数y?的值域应该为M??yy??1?．
分析：类似于例5、例6的问题，函数以分式形式给出，分子分母有公因式。由于用判别式法相对比较繁琐，一般可先约去公因式，再求化简后函数的值域。因变形前后函数的定义域不同，从而导致了函数值域的不同，所以在求值域时一定要考虑定义域．
结论二：若函数y?f(x)是以分式形式给出的，设y?f(x)?h(x)?ax?bx?c2h(x)g(x)(8)，其中
，g(x)?lx2?mx?n，把（8）变形为yg(x)?h(x)(9)，即
222y（lx?mx?n)?ax?bx?c，整理得(ly?a)x?(my?b)x?(ny?c)?0(10)，可分以下四种情况讨论：
1．若对于任意的实数x，恒有g(x)?0时，则方程（8）与方程（9）等价，可归结为第一类问题讨论．
2．若存在实数x?x0，使得g(x0)?0，而h(x0)?0，显然x?x0不可能是方程（9）的解，所以方程（8）与方程（9）是等价的，因此也可归结为第一类问题讨论．
3．若存在实数x?x1，满足方程（9），且g(x1)?0，由（9）可知必有h(x1)?0，则x?x1是g(x)?0和h(x)?0的公共解，因此有g(x)?(x?x1)g1(x)，h(x)?(x?x1)h1(x)，由（8）可得y?f1(x)?h1(x)g1(x)(8)，设集合N为函数y?f1(x)的值域．由于x?x1时函数（9）无意义，
'因此函数y?f(x)的值域应在函数y?f1(x)的值域N中除去y?f1(x1)． 4．若存在两个实数x1，x2满足方程（9），且g(x1)?g(x2)?0，由（9）可知必有
h(x1)?h(x2)?0，也就是说g(x)?0和h(x)?0有两个公共解x?x1和x?x2，所以有g(x)?l(x?x1)(x?x2)，h(x)?a(x?x1)(x?x2)，其中l和a为不等于零的常数．约去（8）中分
子分母的公因式得y?值域为?yy???3??． 4?al，则函数y?f(x)的值域为?yy???a??l?．例如函数y?3(x?2)(x?4)4(x?2)(x?4)的
作者信息：陆超群，男，1965年生，中学数学高级教师，常州市学科带头人
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