发布时间 : 星期五 文章黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析更新完毕开始阅读ba082560473610661ed9ad51f01dc281e53a5629
所以?b?1???x1?x2?22x1?x2???x1x221x1x2116t?, 所以或t?3 ???2?t??2?3x2x1t3又因为0?t?1，所以0?t?181?1??1? 所以h?t??h??????3??2ln??2ln3,
333?3??3?所以g?x1??g?x2?的最小值为【点睛】
8?2ln3. 3本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值的意义，考查转化思想与减元意识，是一道综合题．
22．已知动圆M恒过点?0,?，且与直线y=-（1）求圆心M的轨迹E的方程；
（2）设P是轨迹E上横坐标为2的点，OP的平行线l交轨迹E于A，B两点，交轨迹E在P处的切线于点T，问：是否存在实常数?使|PT|??|TA|?|TB|，若存在，求出?的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）x?2y；（2）存在，【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；
（2）由抛物线方程求得点P的坐标，设出直线l的方程，利用导数求得点T的坐标，联立直线l的方程和抛物线方程，结合韦达定理，求得TA,TB，进而求得PT与TATB之间的大小关系，即可求得参数?. 【详解】
（1）由题意得，点M与点?0,?的距离始终等于点M到直线y=-222??1?2?1相切. 25. 2??1?2?1的距离， 2由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点?0,?为焦点，直线y=-则
??1?2?1为准线的抛物线， 2p1?，p?1.∴圆心M的轨迹方程为x2?2y. 22（2）因为P是轨迹E上横坐标为2的点， 由（1）不妨取P(2,2)，所以直线OP的斜率为1. 因为l//OP，所以设直线l的方程为y?x?m，m?0. 由y?12x，得y??x，则E在点P处的切线斜率为2， 2所以E在点P处的切线方程为y?2x?2.
由??y?x?m,?x?m?2,得?所以T(m?2,2m?2)，
?y?2x?2,?y?2m?2,22所以|PT|2??(m?2)?2???(2m?2)?2??5m2.
?y?x?m,由?2消去y得x2?2x?2m?0， ?x?2y由??4?8m?0，得m??设A?x1,y1?，B?x2,y2?， 则x1?x2?2，x1x2??2m. 因为点T，A，B在直线l上，
所以|TA|?2x1?(m?2)，|TB|?2x2?(m?2)， 所以|TA|?|TB|?2x1?(m?2)?x2?(m?2)
1且m?0. 2?2x1x2?(m?2)?x1?x2??(m?2)2 ?2|?2m?2(m?2)?(m?2)2|?2m2，
所以|PT|?∴λ?25|TA|?|TB|. 25 252，使得|PT|??|TA|?|TB|. 2故存在λ?【点睛】
本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题. 23．已知函数f?x??1?x?alnx. x（1）若f?x?在?0,???上为单调函数，求实数a的取值范围：
f?x1??f?x2?325xx（2）若的最大值与最小值分别为M，?a?，记f?x?的两个极值点为1，2，记
x?x2212m，求M?m的值. 【答案】（1）a?2；（2）【解析】 【分析】
ln2 31ax2?ax?1.根据f?x?单调，转化为x2?ax?1?0对x?0恒成立求解 （1）求导f??x???2?1???2xxxx1a?a2?44t???x2是x2?ax?1?0的两个根，（2）由（1）知x1，不妨设x1?x2，令x2a?a2?4a?a2?4??2.
f?x1??f?x2?f?x1??f?x2?11t?1325??2?lnt. 令根据转化为?a?，确定?t?，将
x?xx?x42t?1221212h?t???2?【详解】
t?1lnt，用导数法研究其单调性求最值. t?1（1）f?x?的定义域为?0,???，
1ax2?ax?1. f??x???2?1???2xxx因为f?x?单调，所以x2?ax?1?0对x?0恒成立， 所以a?x?因为x?1,x?0，恒成立， x1?2，当且仅当x?1时取等号， x所以a?2；
（2）由（1）知x1，x2是x2?ax?1?0的两个根. 从而x1?x2?a，x1x2?1，不妨设x1?x2，
x1a?a2?44t???则x2a?a2?4a?a2?4??2.
因为
11325?a?，所以t为关于a的减函数，所以?t?.
4222f?x1??f?x2?lnx1?lnx21???1?a
x1?x2x1x2x1?x2??2??x1?x2?lnx1?lnx2t?1??2?lnt.
x1?x2t?11t??2lntt?1lnt，则h??t??t. 令h?t???2?2t?1t?1??因为当a?2时，f?x??1?x?2lnx在?0,???上为减函数. x所以当t?1时，m(x)??t?2lnt?m?1??0.
1t从而h??t??0，所以h?t?在?0,1?上为减函数.
所以当
?1??1?ln2325. ?a?时，M?m?h???h???423????22【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.