发布时间 : 星期二 文章第五章 留数(答案)更新完毕开始阅读b9067c1cff00bed5b9f31de6
e2i??e?2i?z2?z?2cos2???22?2?02?sin2?d???05?4cos?z2?z?2z2?z?21?1?1?cos2?dzdz22d??????z?1z?z?1iz?z?1z?z?1iz2(5?4cos?)2(5?4?)2(5?4?)22z4?2z2?1???dzz?1128iz(z?)(z?2)2被积函数
z4?2z2?1f(z)?
18iz2(z?)(z?2)2在|z|=1内具有两个奇点z=0,z=-1/2，它们分别是二阶极点和一阶极点。
??42d?z?2z?1?Res[f(z),0]?lim??z?0dz1?8i(z?)(z?2)?2????3z?2z?1?4z?4z11?5?lim???4??i2z?011z?2?168i(z?)(z?2)?z?2z?1z?22??42
1z4?2z2?13Res[f(z),?]?lim1??i 22z??8iz(z?2)162从而原积分
z4?2z2?1153?iI???dz??2?i(Res[f(z),0]?Res[f(z),?])??2?i(i?i)?z?112161648iz2(z?)(z?2)2
??cos2xx2dx（3）? （4）???x2?9dx ??1?x4?? 37
z22222在上半平面内的奇点为z??i，??i.它们都是一阶极点.1?z4222222Res[f(z),?i]22z22(1?i) ?lim?;228222222z??i22(z??i)(z??i)(z??i)22222222Res[f(z),??i]22z22(1?i)?lim??228222222z???i22(z??i)(z??i)(z??i)222222从而x22222dx?2?i(Res[f(z),?i]?Res[f(z),??i]) ???1?x422222(1?i)2(1?i)2?2?i(?)??882??
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复变函数练习题 第五章 留数
系 专业 班 姓名 学号
综合练习
一、选择题
1．下列命题中，正确的是 [ ] （A）设f(z)?(z?z0)?m?(z), ?(z)在z0点解析, m为自然数，则z0为f(z)的m级极点。 （B）如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C）若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D）若
??Cf(z)dz?0，则f(z)在C内无奇点
??A:?(z0)?0;??B:f(z)?c0?c?1?2??1z?c?2z??;???C:f(z)?c0?c1z?c2z2??????c?1z?2???1z?c?2???f(?z)?c2? ?0?c1z?c2z?????c?1z?1?c?2z?2?????由洛朗展式的唯一性，cc??1???1，从而c?1=0??D:不一定??2．Res[z3cos2iz,?]? （A）?23 （B）2223 （C）3i （D）?3i
??zcos2i?z3(1?1??z2!?2i?2?z???1?4!?2i?43??z????)???4?? ?c?2i?22?1?4!?3，从而Res[f(z),?]??c?1??3??3．积分??|z|?1z2sin1zdz? （A）0 （B）?16 （C）??3i （D）??i
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[ ] [ ] 3?2?1111??2?zsin?z(?????)?zz3!?z???
??11?c?1?????3!6??二、填空题： 1．设f(z)?2z，则Res[f(z),?]? -2 。 1?z22z1??f(z)?在?点的洛朗展式为：（切记！此时?1）??1?z2z??2z121?2z?????(1???)2?1?z2z2? 1zz1?2??z???c?1?2???12．积分??|z|?1sinzdz? 2?i 。
1z??dz?2?iRes[f(z),0)?2?ilim?2?i??? ?|z|?1sinzz?0sinz??三、解答题
1．求出下列函数f(z)在有限孤立奇点处的留数：
（1）f(z)?1 35z?zf(z)?11?具有一个三阶极点z?0，两个一阶极点z?1,z??1z3?z5z3(1?z)(1?z)f(z)在z?0点的洛朗展式为：111??(1?z2??)35323z?zz(1?z)z从而Res[f(z),0]?c?1?1;11??;3z?1z(1?z)211Res[f(z),?1]?lim3??z?1z(1?z)2Res[f(z),1]?lim?
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