发布时间 : 星期日 文章第8天——《小题训练计划》(四)名校模拟—2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(二)更新完毕开始阅读b8c757f467ce0508763231126edb6f1afe007150
强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽
111组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同
346学中至少有一名同学被选上的概率为( )
1572A． B． C． D．
312123111【解析】：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，
3461117?这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：P?1?(1?)(1?)(1?)?．故选： C．
346128．过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛
uuuruuuruuuruuur物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF?FB，BAgBC?36，则抛物线的方程为( ) A．y2?6x
B．y2?3x
C．y2?12x
D．y2?23x
【解析】：设抛物线的准线与x轴的交点为D，
依题意，F为线段AB的中点，故|AF|?|AC|?2|FD|?2p，|AB|?2|AF|?2|AC|?4p，
uuuruuuruuur|BC|?23pBAgBC?4p?23pcos30??36，解得p?3， ，，??ABC?30?uuuruuuruuuruuur9．在平行四边形ABCD中，AE?EB，CF?2FB，连接CE、DF相交于点M，若uuuuruuuruuurAM??AB??AD，则实数?与?的乘积为( )
3134A． B． C． D．
8443【解析】：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B) uuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur故AM??AB??AD??AB??BC??AB??(AC?AB)
uuuruuuruuuruuur?(???)AB??AC?2(???)AE??AC，
?抛物线的方程为y2?23x．故选：D．
因为E、M、C三点共线，故有2(???)???1，即2????1，①
uuuuruuuruuuruuuruuuruuur同理可得AM??AB??AD??(AF?FB)??BC
uuur1uuuruuuruuurr1uuu??AF??AD??AD??AF?(???)AD，
3321因为D、M、F三点共线，故有??(???)?1，即????1，②
3331313综合①②可解得??，??，故实数?与?的乘积??故选：B．
4242810．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为(
)
A．20%，14580元 B．10%，14580元 C．20%，10800元 D．10%，10800元 【解析】：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{an}，设“衰分比”为m，
?a?a2?a3?a4?68780则数列的公比为1?m，则有?1，则有a2?a4?32580，
a?a?362003?1a则有1?m?0.9，则m?0.1?10%，则有42?a4?32580，解可得a4?14580，
(0.9)即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．
x3mx211．已知函数y???(m?n)x?1的两个极值点分别为x1，x2?(1,??)，x2且x1?(0,1)，
32记分别以m，n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D，若函数y?loga(x?4)(a?1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为( ) A．(1，3]
B．(1,3)
C．(3,??)
D．[3，??)
【解析】：y??x2?mx?m?n，依题意，y??0的两个根为x1，x2且x1?(0,1)，x2?(1,??)， ?m?n?0??，平面区域D表示的图形如下图所示，
2m?n?1?0?
注意到直线m?n?0与直线2m?n?1?0的交点P(?1,1)，当函数y?loga(x?4)过点P时，即loga3?1，解得a?3，要使函数y?loga(x?4)(a?1)的图象上存在区域D内的点，由图可知，a?3，又a?1，故实数a的取值范围为(1,3)．故选：B．
112．设点P在曲线y?ex上，点Q在曲线y?1?(x?0)上，则|PQ|的最小值为( )
x22A．B．2(e?1) C． D．2 (e?1)
22【解析】：如图， 因为y?ex的反函数是y?lnx，两个函数的图象关于直线y?x对称，
所以曲线y?ex上的点P到直线y?x的距离等于在曲线y?lnx上的对称点P?到直线y?x的距离．
111x?1，f?(x)??2?2， xxxx当0?x?1时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(0,??)上有最小值f（1）?0，
1则当x?0时，除(1,0)点外函数y?lnx的图象恒在y?1?的上方，在(1,0)处两曲线相切．
x1求曲线y?ex上的点P与曲线y?1?上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y?lnx上
x1的点P?与Q点到直线y?x的距离的最小值的和，而函数y?lnx与y?1?在x?1时的
x设函数f(x)?lnx?1?导数都是1，说明与直线y?x平行的直线与两曲线切于同一点(1,0)则PQ的距离的最小
1值为(1,0)点到直线y?x距离的2倍，所以|PQ|的最小值为2?故选：D． ?2．221?1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.
z13．若复数z?1?i，则? ?1 ．
ziz1?i1?i【解析】：Q复数z?1?i，?z?1?i，?????1．故答案为?1．
zii(1?i)i?1x2y214．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)，其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，
ab垂足为Q，线段FQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为 2 ．
b【解析】：由题意设F(c,0)相应的渐近线：y?x，
aa2ba则根据直线QF的斜率为?，设Q(x,x)，代入双曲线渐近线方程求出x?，
caba2a2?c2abab则Q(，)，则QF的中点(,)，
c2c2cc22xyc把中点坐标代入双曲线方程2?2?1中，整理求得?2，即离心率为2 aba故答案为：2．
15．已知?ABC中，?A，?B，?C的对边分别为a，b，c，若a?1，2cosC?c?2b，则?ABC的周长的取值范围是 (2，3] ．
a2?b2?c2【解析】：?ABC中，由余弦定理可得2cosC?，Qa?1，2cosC?c?2b，
ab1?b2?c2??c?2b，化简可得(b?c)2?1?3bc．
bb?c2b?c2． Qbc?()，?(b?c)2?1?3?()，解得b?c?2（当且仅当b?c时，取等号）
22故a?b?c?3．再由任意两边之和大于第三边可得b?c?a?1，故有a?b?c?2，
故?ABC的周长的取值范围是(2，3]，故答案为：(2，3]．
??0?y…???216．已知平面区域???(x,y)??，直线l:y?mx?2m和曲线C:y?4?x有两2???y?4?x???个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域?内随机投一点A，点A??2落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)?[则实数m的取值范围是 [0， 1] ．,1]，
2?【解析】：画出图形，不难发现直线恒过定点(?2,0)，
圆是上半圆，直线过(?2,0)，(0,2)时，它们围成的平面区域为M，向区域?上随机投一点
??2， A，点A落在区域M内的概率为P(M)，此时P(M)?2?当直线与x轴重合时，P(M)?1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．