发布时间 : 星期一 文章2019-2020学年苏教版必修四 3.1.3 两角和与差的正切 学案更新完毕开始阅读b8b2236f473610661ed9ad51f01dc281e53a5680
3.1.3 两角和与差的正切
学 习 目 标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点) 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 核 心 素 养(教师独具)
两角和与差的正切公式 tan α－tan βT(α－β)：tan(α－β)＝.
1＋tan αtan βtan α＋tan βT(α＋β)：tan(α＋β)＝.
1－tan αtan β思考：公式Tα±β有何结构特征和符号规律？
[提示] (1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
1．tan 15°＝________；tan 75°＝________. 2－3 2＋3 [tan 15°＝tan(45°－30°)＝
1
31－tan 45°－tan 30°33－3＝＝＝2－3.
31＋tan 45° tan 30°3＋31＋3tan 45°＋tan 30°
tan 75°＝
1－tan 45°tan 30°31＋3＝＝2＋3.]
31－3
2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.
51
1 [tan α＋tan β＝6，tan α·tan β＝6. tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan α·tan β
＝1.]
3.
1－tan 15°
＝________.
1＋tan 15°
tan 45°－tan 15°3
[原式＝＝tan(45°－15°) 31＋tan 45°tan 15°3＝tan 30°＝3.]
条件求值问题
π??
【例1】 已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan?2α＋4?.
??π??
2α＋?思路点拨：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan可以用tan 4???2α表示出来．
2
[解] tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝
tan?α＋β?＋tan?α－β?1－tan?α＋β?tan?α－β?
＝
5＋31－5×3
4＝－7，
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝
tan?α＋β?－tan?α－β?1＋tan?α＋β?tan?α－β?
＝
5－31＋5×3
1＝8，
π?1＋tan 2α?
tan?2α＋4?＝＝??1－tan 2α3＝11.
41－7
4 1＋7
求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.
π?1π?2??
β－α＋1．已知tan(α＋β)＝5，tan?4?＝4，求tan?. 4?????π????π??
[解] tan?α＋4?＝tan??α＋β?－?β－4??
??????π?21?
tan?α＋β?－tan?β－4?5－4??3＝＝＝
2122. ?π?
1＋tan?α＋β?tan?β－4?1＋5×4
??
给值求角
?ππ?
【例2】 已知tan α，tan β是方程x＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈?－2，2?，
??
2
求α＋β.
3
思路点拨：利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．
[解] 因为tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，
?ππ?
所以tan α＜0，tan β＜0.又因为α，β∈?－2，2?，
???π?
所以α，β∈?－2，0?，所以－π＜α＋β＜0.
??又因为tan(α＋β)＝2π
所以α＋β＝－3.
1．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；
π??
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是?0，2?，选正、
???ππ?
余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为?－2，2?，选正弦
??较好．
11
2．已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________. 3π
－4 [由于tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝
tan?α－β?＋tan β1－tan?α－β?tan β
tan α＋tan β1－tan αtan β
＝－331－4
＝3，
4