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巧搭实验平台 培养思维能力
——谈数学实验在课堂教学中的实践与思考
● 朱丽丽
著名数学教育家波利亚曾指出：“教师在课堂教学中讲什么当然重要，然而学生想什么、做什么却是千百倍地重要”，“在给定条件下应让学生们尽可能多地靠他们自己去发现、去探索”.长期以来，多数同学都认为“实验”是物理和化学学习中的事，与数学无关，其实数学也是一门实验科学，实验在数学中的许多地方有着用武之地.数学中的许多概念、定理、公式都是通过实验而发现的.计算、作图、测量等许多探索活动都是数学实验中的重要手段.通过实验可以再现数学概念、定理、公式的形成过程，把握题目的特征，发现解题思路，使问题获得简捷解决.因而在平时教学中教师应根据新教材特点，结合教学内容，设计出有利于学生主动参与的教学环节，巧搭实验平台，调动学生动手实验积极性，培养学生学习数学的兴趣，使学生的数学思维能力在实验参与过程中得到提升和发展.
1 实验中再现数学概念、定理的建立过程，培养学生思维的深刻性
数学概念、定理的形成过程一般来自于解决实际问题或教学自身发展的需要，教材上的定义、定理常常隐去概念形成的思维过程，教师在进行概念、定理教学时，要根据需要设置合理情境，巧搭数学实验平台，引导学生参与数学概念、定理的建立过程，使学生在动手中弄清概念、定理的来龙去脉，加深对概念、定理的理解，从而准确把握概念、定理的实质.
譬如，在学习椭圆时，我是这样引导学生通过实验操作来主动探究椭圆的概念和性质定理的.
例1 椭圆概念的形成及性质探求.
课前要求全班每两个学生为一组，准备两枚图钉、一条细线、一张白纸、一支铅笔.课堂上请各组同学按以下程序操作并思考和记录：
（1）取适当长度（2a）的细线，在细线两端系上图钉并按在铺有白纸的桌面上两点F1、
F2处，两点F1、F2的选取满足F1F2?2a；
（2）用铅笔一端拉紧细线，并转动一周，画出一个椭圆；
（3）改变细线长度，使2a?F1F2，重新操作（2），再重复操作一次，能得到什么结论？
（4）改变细线长度，使2a?F1F2，重新操作（2），能得到什么结论？ （5）改变细线长度，使2a?F1F2，出现什么现象？ （6）根据（1）~（5）的操作，讨论能得到什么结论.
（7）重新操作（2）、（3），观察各个椭圆具有怎样的对称性？总结一般规律，由此求椭圆方程可建立怎样的坐标系？
（8）重新操作（2）、（3），观察、讨论椭圆的扁平程度与2a和F1F2有什么内在联系？
（9）全班各组之间交流实验结果.
在上述实验过程中，椭圆的概念、性质不是作为结果直接告诉学生的，而是通过学生动手操作、合作探究获得的，这是一个主动构建知识的过程.在这一过程中通过动手实验，把学生推到思维前沿，把课堂真正还给了学生，给学生参与实验、自主探索、合作交流的机会，让学生在自主的思维活动中去构建新的认知结构.而学生之间的分工协作探究，既加强了数学交流，培养了团队合作精神,又使学生思维的深刻性在参与建立概念、定理的过程中不知不觉地得到加强.同时又为开展后面双曲线和抛物线的教学埋下了伏笔.
2 通过实验，参与公式的发现和推导的全过程，培养学生思维的独创性
数学公式的形成过程大致有两种情况：一种是通过观察、分析，用不完全归纳法、类比等手段提出猜想，而后寻求逻辑证明；二是从理论推导找到结论.在数学中的每一个公式都是数学家辛勤研究的结晶，他们的研究蕴藏着深刻的数学思维过程，处处绽放创造性思维的“火花”.而现行教材中往往只有公式的现成结论和推导过程，缺少公式的发现过程，因而学生参与公式的发现过程，因而引导学生参与公式的发现过程对培养学生思维的创造性是十分有益的.例如，在学习多面体欧拉公式时，我没有直接给出公式，而是引导学生主动挖掘这一研究性课题，借助于数学实验，大胆猜想，小心验证，完成了对多面体欧拉公式的发现与证明成功探究.
例2 多面体欧拉公式的发现与证明.
这是高中《数学》（必修）第二册（下）安排的一个研究性课题.学生的分组探究活动可分以下两个阶段：
（1）考察几个特殊的简单多面体，通过观察，记录每个多面体的顶点数、面数和棱数，计算、归纳、猜想一般规律.
（2）探究欧拉公式与证明 设想多面体是空的并且表面是由薄橡皮制成，对它进行想象性实验操作——割去一面，将其压扁铺平在一个平面上，化为平面图形，通过实验性推理完成.同时，也可借助于计算机模拟实验，将抽象的数学思维直观化，为学生的学习和发展年代了丰富多彩的学习情境和有力的学习工具.
在实验的第一阶段，由特殊多面体的观察、归纳、猜想一般结论，这是思维实验常用的手段.在这个过程中，学生亲身参与了欧拉公式的发现过程，数学知识通过学生的再创造，纳入自己的认知结构，彻底改变了“只讲授结果”的传统数学教学模式，真正体现了学生的主体性.在第二阶段，把多面体想象为薄橡皮制成的空壳，并割去一面，创设了空间图形平面化的思维情境，把多面体按照实验方式展在一个平面上，在有条件的学校，还可借助于计算机的快速运算和图形处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探究数学知识、验证数学结论或假设.其整个思维过程是想象与逻辑的统一，是思维性实验与操作性实验的统一，培养了学生思维的独创性和动手的灵活性.
3 在“动态”实验中不断暴露解题思路的探索过程，培养学生思维的广阔性 问题是数学的心脏，解题教学是数学课堂教学的基本组成部分.如果在例题教学时仅仅为了结论而讲解，为了示范而板书，不和学生一起探索解题思路是如何形成的，那么学生对知识的理解是不会深刻的.笔者认为在例题教学时，教师应关注问题展示中发现知识的思维过程；重视解题思路形成的探索过程，让解题教学成为学生动手动脑的过程.对一个给定的数学问题教师切不可越俎代庖，一定给学生思考的时间和动手的空间，那种单纯以传授知识
结论为目的，对知识的由来和发展弃之不顾“掐头去尾烧中段”的做法是不可取的.教师应尽可能地揭开题设和结论之间的内在联系，当然这种揭示并非是直接将“原委”告诉学生，而是让他们在探索过程中自己去发现、去体验.因此，教师应鼓励学生大胆尝试，积极参与数学实验，在“动态”实验中，从多方位、多角度去联想、去思考、去探索，这样既加强了知识间的横向联系，又开阔了学生的视野，培养了学生思维的广阔性.
例3 （2002年高考题改编）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，如图2）要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成正六棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等。请设计一种操作方法，分别用虚线标示在图4、图5中，并作简要说明.
分析 本题考察同学们的动手操作能力及空间想象能力.剪拼成正三棱锥较为简单（如图3），根据题意要求剪拼成正三棱柱，动手操作，通过不断尝试可得多种剪拼方法，下面介绍两种（如图4、图5）：
图3
3 5 1 2 4 5 5 4 1 2 3 图5
图1
图2
6 图4
请同学们自己用纸片动手操作一下，就可以明白其中的道理.
解题实验要在数学概念、数学思想、数学方法等理论指导下进行，实验得出的结论有时需通过理论加以证明，即数学实验要遵循“理论——实践——理论”这一认识论的基本规律，决不是简单的赶时髦，而是需要经过他们的思维系统不断地积极主动的检索、矫正，寻求契合点，以达到领悟、提炼、内化的目的，实现由此及彼的融会贯通，以完成新知识的建构和整合. 同学们在解题的过程中，要逐步学会运用实验的观点来分析和探索问题的方法，以提高解题能力和综合素质.
新课程改革提倡课堂教学中学生的主体参与.以新教材为载体，数学实验为平台，诱发思维，培养学生的探究意识和创新意识，是数学教学中摒弃传统的注入式教学方法，更好地体现学生为主体的一个基本环节，也是转变观念走进新课程的具体体现.
（朱丽丽 盐城中学）