发布时间 : 星期六 文章效用论习题和解答更新完毕开始阅读b849ed22482fb4daa58d4b11
12.令消费者的需求曲线为p=a－bq，a，b>0 ，并假定征收pt% 的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t) ，证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。
a?Pq1?b 解：设价格为p 时，消费者的需求量为 q1 ，则p=a－bq1 ，得
a?(1?t)Pq2?b又设价格为P(1+t) 时，消费者的需求量为q2 ，由P=a－bq2 ，得
消费者剩余损失
q1q2??(a?bq)dq?pq1???(a?bq)dq?P(1?t)?q2???0?0?q1??(a?bq)dq?P(1?t)?q2?pq1q2b21?(aq?q)?(1?t)pq2?pq12q2?(aq1?b2b2q1)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq122q政府征税而提高的收益=(1+t)pq2－pq1
消费者剩余亏损－政府征税而提高的收益
bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq1??(1?t)pq2?pq1?22bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)22a(a?p)ba?p2a?a?(1?t)p?b?a?(1?t)p????()?????b2bb2?b?2tp?t2p2?2b∵b、t 、p>o
2
2tp?t2p22b∴>0
因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。
13.假定效用函数为U=q0.5+2M ，q 为消费的商品量，M为收入。求：需求曲线。
解：根据题意可得，商品的边际效用 MU=?U/?q=0.5q-0.5
单位货币的效用为λ=?U/?M=2 若单位商品售价为P，则单位货币的效用λ 就是商品的边际效用除以价格，即
λ=MU/P
?0.5?U?U0.5q?P2??M?qP 于是得，即
1q?16P2，这就是需求曲线。 进而得
14.某消费者消费商品X和Y的无差异曲线为Y?20?4x，问： ①组合（4，12）点的斜率是多少？ ②组合（9，8）点的斜率是多少？ ③MRS 是递减的吗？
?dy1?2dy??4?x??2x22解：对于Y?20?4x，有dx即dx ??dy2??2x??2?42??1①当x=4时，dx
1111故Y?20?4x在点（4，12）处的斜率为-1
??dy22??2x?2?92??3 ②当x=9时，dx11故Y?20?4x在点（9，8）处的斜率是
?dy?2x2③由于MRSxy=dx
1?23
??11(2x)?x?2?(?)?x2??x2??32x2＜0 而
故MRSxy是递减的。
?123315.已知某人消费共两种商品X和Y的效用函数为U?XY，商品价格为Px和Py ，收入为M，请推导出他对X和Y的需求函数。 解：根据题意，预算方程为Px·x+Py·y=M，那么，M－Px·x－Py·y=0
令U= X1/3Y1/3＋λ(M－Px·x－Py·y) ，U极大的必要条件是所有的一阶偏导数为零，即
1313?U1?33?xy??Px?o;?X3?U13?3?xy??Py?0;?y3?U?M?Px?x?Py?y?0??
解下列方程可得出X和Y的需求函数
12211?1?233?xy??Px?0?312?133xy??Py?0??3?M?Px?x?Py?y?0??
16.已知某人月收入为1200元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，X的价格为20元，Y的价格为30元。求： ①为获得最大效用，他购买的X和Y各为多少？ ②货币的边际效用和他获得的总效用各为多少？ ③假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为保持原有的效用水平，他的收入必须增加多少？ ④假设他原有的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原有的购买量可作为消费品价格指数的加权数，当X的价格提高44%时，消费品价格指数提高多少？ ⑤为保持原有的效用水平，他的收入必须提高多少个百分率？ ⑥你关于④和⑤的答案是否相同？假如不同，请解释为什么他的效用水平能保持不变？
?U?(XY)?U?(XY)??Y,??X;?X?X?Y?Y解：① 由U=XY得：
又知，Px=20 Py=30 ，进而由MUX/PX=MUY/PY，得Y/20=X/30 由题意可知预算方程为：20X+30Y=1200 解下列方程组
YX????2030??20X?30Y?1200 ?X?30?可得?Y?20
因此，为使获得的效用最大，他应购买30单位的X和20单位的Y。 ②∵MUx=?U/?x=Y=20， Px=20 ∴货币边际效用λ= MUX/PX=Y/Px=20/20=1 总效用TU=XY=30×20=600 ③现在PX=20+20×44%=28.8，MUX/PX=MUY/PY也就是Y/28.8=X/30 又由题意可知，U=XY=600 X?Y???X?25?28.830??XY?600?解 得?Y?24
④
消费品价格提高的百分率?价格指数增加额⑤收入提高的百分率=24/120=20%
⑥消费品价格指数提高22%，而收入提高了20%，二者显然不同。
因为X的价格提高44%，在Y价格不变的情况下，为取得同样效用，均衡购买量发生了变化。一方面，X的购买量从30降为25，因而减少支出为28.8×(30-25)=144元;另一方面，Y的购买量从20增至24，因而增加30×(24-20)=120元的支出，二者相抵，净节省144-120=24元，占原收入1200元的24/1200=2% 。因此，当价格指数提高22%时，收入只需提高20%就够了。
17.若某消费者的效用函数为U=xy4，他会把收入的多少用于商品Y上？ 解：假设商品X的价格为PX，商品Y的价格为PY，收入为M。
由U=xy4 得：?U/?x=y4 ?U/?y=4xy3
他对X和Y的最佳购买条件是，MUX/PX=MUY/PY，即为：y4/Px=4xy3/Py
1Px?x?Py?y4变形得， 1Px?x?Py?y4把 代入预算方程Px?x?Py?y?M
1Py?y?Py?y?M44Py?y?M5
这就是说，他收入中有4/5用于购买商品Y。
18.证明：若效用函数为U=XrY，r>0， 则恩格尔曲线是一条直线。
解：恩格尔曲线是在商品价格和消费者的偏好不变的情况下，消费者收入变动，无差异曲线和预算线的切点的轨迹，它经过原点。设X的价格为PX，Y的价格为PY
对于U=XrY，有：?U/?x=rXr-1Y ?U/?y=Xr
原有的价格指数(30?28.8?20?30)?(30?20?20?30)?30?20?20?30264??2200
rXr?1YXr?PPy x MUX/PX=MUY/PY，即为：
PY?x变形整理得，XrPy
Px由于Px 、Py 是固定不变的，r为常数，且r>0 ，故rPy是一个大于零的常数。
Y因此，X是大于零的常数。
又因为恩格尔曲线过原点，所以Y/X就是曲线的斜率，而Y/X又是大于零的常数。因此，恩格尔曲线是一条过原点向右上方倾斜的直线。