发布时间 : 星期三 文章ct原理及发展历程 - 图文更新完毕开始阅读b799a77dc77da26924c5b024
(3)
I???????I??????I???
??式(3)中令???0，可得到如下微分方程 (4)
求解该方程有 (5)
I????e????C
I???????I???dI????I???
???0??d?lim由初始条件I?0??I0可以计算出式(5)中的C?lnI0。于是有 (6)
I????I0e???
式(6)称为Beer定律。该定律是光吸收的基本定律，适用于所有的电磁辐射和所有的吸光物质。
对于非均匀非单一物质，其在每一点的衰减系数与位置有关，记为??x?。(6)式可改写为 (7)
??x?dxI????I0e?0
??若X射线不是单色的，其归一化能谱记为S?E?，同时衰减系数与X射线能量是有关的，记为??x,E?。则上式进一步化为 (8)
??x,E?dx?0I????I0?S?E?edE
??3.2 CT成像的连续数学模型
在理想条件下，即假设X射线由单一能量的光子组成，忽略射线源焦点及探测器尺寸，考虑X射线穿过不均匀物体发生衰减。设物体的线性衰减系数分布为??x?,x??x1,x2,x3?。以I0?L?和I?L?表示X射线沿路径L穿过物体前和穿过物体后的强度，则由Beer定律有 (9)
I?L??I0?L?e???x?dl?L
上式两端同时除以I0，再经过对数变换和简单的整理有 (10)
p?L?@?lnI?L?????x?dl I0?L?L称p?L?为??x?沿路径L的投影。
CT成像问题就是利用X射线探测器探测沿不同路径L的I0?L?和
I?L?，进而由这些值重建被测物体线性衰减系数分布??x?的值或近
似值。或者表述为：由一系列p?L?重建??x?的值或近似值。
图8 Radon变换示意图
考虑二维情况。平面内任意一条射线路径（直线）L，可以由原点到L的有向距离r和L的法方向与x轴的逆时针夹角?表示，如图8所示。利用这两个变量，L的方程可以表示为： (11)
x???r
其中x??x,y?,???cos?,sin??。因此p?L?又可以写做 (12)
p?r,???L:x???r???x?dl
式(12)在数学上称为函数??x?的二维Radon变换。下文中对??x?的
??r,??。 Radon变换也记为?固定角度?，r变化时，x???r表示一系列平行射线，简称为
平行束（parallel beam），称p?r,??为平行束投影。于是，当射线用参数?r,??表示时，CT成像问题就是“由一组平行束投影p?r,??重建。 ??x?的问题”
3.3 CT成像的离散数学模型
图9 CT成像的离散模型
以下以断层以下以断层CT成像为例介绍离散模型。如图9所示，设?(x)在圆域?之外为零。将包含圆域?的正方形区域等分成J个小区域?j,j?1,2,L,J，每个小区域称为一个像素。设?j(x)为?j的特征函数或示性函数，即?j(x)在?j内为1，在?j外为0。令 (13) 其中 (14)
cj?1?j?J?x???cj?j?x?
j?1J??j??x?dx
?j为?j的面积。显然?J?x????x?。?J?x?称为??x?的数字化图像。设Li为与图像相交的射线，??x?在沿射线Li的投影为
(15) 式中 (16)
p?Li???x?Li??x?dl??x?Li?J?x?dl??aijcj,i?1,2,L,I
j?1Jaij??x?Li?j?x?dl
即第i条射线Li与第j个像素?j的交线长。在离散CT问题中cj是未知量。习惯上以xj代替cj，记 (17)
bi?p?Li?。于是得方程
j?axijj?1J?bi,i?1,2,L,I
该式可以写成矩阵形式 (18)
TAx?b
其中，x??x1,x2,L,xJ?是待求的??x?的数字化图像?J?x?的图像向量；b?(b1,b2,L,bI)T是实测数据的投影向量；A?(aij)I,J是投影矩阵。
所谓离散CT问题就是：已知投影矩阵A和投影向量b，求(18)式的广义解x。离散CT模型的求解方法可分为直接方法和迭代方法。直接方法有消元法、LU分解、奇异值分解方法等，其主要缺点是所需的存储量和计算量过大，例如图像像素数为1024x1024，投影角度数为720，每个角度的采样数为1024时，A的行数为1024x1024，列数为720x1024。即使仅存储A的非零元也需要约5.6GB。此外，直接方法还会遇到由于数据误差造成方程不相容的问题。因此，就现有计算机能力，直接方法很难求解离散CT模型。
四、附录 4.1 CT图书
1) Herman G T. Fundamentals of computerized tomography: image