发布时间 : 星期一 文章全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文资料设计更新完毕开始阅读b7193f42dc88d0d233d4b14e852458fb760b3899
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率?反应了该地区的卫生水平，?越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以延缓传染病高潮的到来。而当t??时i?1，即所有人终究将被传染，全变为病人，这显然与实际情况不符相。其中的原因是模型中没有考虑到病人是可以治愈的，人群中的健康者只能变成病人，而病人不会再变成健康者。下面模型中将讨论病人可以治愈的情况。
5.1.4 SIS模型
由于病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，那么由此得到需增加的条件为：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数?，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然
1是这种传染病的平均传染期。 ??di?N??Nsi??Ni ?dt
??s(t)?i(t)?1记初始时刻?t?0?病人的比例为i0，则
?di???i(1?i)??i ?dt
??i(0)?i0设???，则?可表示整个传染病期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。利 ?用?，可得如下模型：
di1?????i?i?(1?)? 模型Ⅲ dt???根据模型Ⅲ，利用Mtlab7.1作出
di： ~i的图形，如下（程序参见附件6）
dt
图5 SIS模型的
di~i曲 图6 SIS模型的i~t曲 dt
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模型Ⅲ结果分析：不难看出，接触数??1是一个阈值。由图5可知道，随着病人所占的人数越多，那么在时间t内病人的增长率就越大。当??1时i?t?的增减性取决于i0的大小（见图6），单其极限值i????1?1?随着?的增加而增加；当??1时病人比例i?t?越来越小，最终趋于0，这是由于传染期内经有接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故。 5.1.5 SIR模型
由于病人在治愈后有一定的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们己经退出传染系统。人群分为健康者、病人、病愈与免疫的移
出者三类，即SIR模型。这三类人在总人数N中占得比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。
?s(t)?i(t)?r(t)?1? ?dr
N??Ni?dt?记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0?s0?0?和i0?i0?0?（设移出者的初始值
r0?0），则可得SIR模型：
?di?d??si??Ni?t?ds ????si 模型Ⅳ
d?t?i?0??i0??s?0??s0由于模型Ⅳ无法直接求出s(t)和i(t)的值，故先作数值运算。设??2,??0.5,i(0)?0.02, ： s(0)?0.96，用Mtlab7.1求解可得如下i(0),s(t)图形和s~i图形（程序参见附件7）
图7 i(0),s(t) 图形 图8 s~i图形（相轨图）
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模型Ⅳ结果分析：i ~ s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为
D???s,i?s?0,i?0,s?i?1?
消去dt可得：
di1??1,ids?s
s?s0?i0
利用积分特性可解得：i??s0?i0??s?1?lns ，在定义域D内,该式表示的曲线即为相s0轨线,如图9所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.
图9 SIR模型的相轨线
根据图9，可分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况如下：
1.不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即：i??0 2.最终未被感染的健康者的比例是s?. 3.若s0?1/?,则i(t)先增加,后减小. 4.若s0?1/?,则i(t)单调减小至0.
5.1.6 模型Ⅳ（SIR模型）的改进模型
由于在H1N1流行的过程中，各个地方（包括香港）都采取了一定的措施，一般是采取了隔离的制度，所以在模型模型Ⅳ（SIR模型）的基础上进行改进。考虑到隔离人数比例g和未隔离人人数比例w，以及接触后没有及时隔离治疗的人数p，从而建立如下改进模型：
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?ds?dt??p??s??dg?p??s(g)???g?gtg????dr 模型Ⅴ ??qi?dt?di?dt???(g??)?qi??d??p??s(?)?????dt??g?由于该模型的分析过程过于复杂，所以该模型在这里将不多做讨论。但从该模型中，
可以看出为预防和控制提供可靠的信息，比如：控制传染源、切断传播途径、保护易感人群、隔离等。
5.1.7 建立模型的关键和困难
建立模型的关键在于对模型进行动态的分析，当传染病发展到一定阶段时，在医疗水平提高、人员流动、出生率和死亡率以及以及采取防御传播措施等方面的影响促使传染率下降。此时仍用之前模型的误差会很大。在建立模型过程中有以下几个方面的困难：①对不同地区H1NI的卫生知识的宣传程度，K值取值不同；②对某一地区的不同地方的强化管理也不一样，K值也就不一样；③防护措施不同、卫生条件不一等，都会影响到K的取值。另外，本文模型大多假设种群总数为常数，且考虑的影响因素较少，但在实际问题中，由于疾病的复杂性往往涉及变动人口、年龄结构、隔离等多种因素的影响，致使模型的建立错综复杂。
5.1.8 对卫生部门采取的措施评价
经上网查询得知医学研究表明，从正式发病到治愈一般需一至两周，假定平均治愈时间为10天。假设新患者出现的数量与现有患者的数量成正比，也与现有易感者的数量成正比，即发病率是患者人数和易感者人数的双线性函数。则有：
?M(t?1)?M(t)?Z(t?1)?t ?Z(t?1)??M(t)Z(t??)?(?)??t?0?对其进行整理可得：
tM(t?1)?(1???Z(t??))?(?) 模型Ⅵ M(t)其中，M(t)为t时刻易感人群总数，Z(t)为t时刻新增病人数，?(?)为病人从患病起经过?时间仍为病人的概率（图中用p表示）。
假设病人开始患病记为第1天，最迟到第10天病愈。那么病人从患病起经过?时间仍为病人呈逐步递减的概率参数，如下图：