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第十三章 排列组合与概率
一、基础知识
1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+?+mn种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，??，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×?×mn种不同的方法。
3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的
mm所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用An表示，An=n(n-1)?
(n-m+1)=
n!,其中m,n∈N,m≤n,
(n?m)!0n注：一般地An=1，0！=1，An=n!。
Ann4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。
n5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个
m不同元素中取出m个元素的组合数，用Cn表示：
mCn?n(n?1)?(n?m?1)n!?.
m!m!(n?m)!nkk?1kmn?mmmn?16．组合数的基本性质：（1）Cn；（2）Cn（3）Cn?1?Cn；（4）?Cn?1?Cn?Cn；
nk?1C?C???C??Cn?2n；（5）Ckk?Ckk?1???Ckk?m?Ckk?m?1；（6）0n1nnnk?0kmn?kCnCk?Cn?m。
7．定理1：不定方程x1+x2+?+xn=r的正整数解的个数为Cr?1。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+?+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,?,xn),将xi作为第i
- 1 - n?1
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个盒子中球的个数，i=1,2,?,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，
?1共有Crn?1种。故定理得证。
r推论1 不定方程x1+x2+?+xn=r的非负整数解的个数为Cn?r?1.
推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重
m组合，其组合数为Cn?m?1.
8．
n
二项式定理：若n∈N+,r+1
则项
0n1n?12n?22rn?rrnn(a+b)=Cna?Cnab?Cnab???Cnab??Cnb.其中第rn?rrrTr+1=Cn叫二项式系数。 ab,Cn9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率
m总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件nA发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p(A)=
m. n11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，?，An彼此互斥，那么A1，A2，?，An中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An).
12．对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为A。由定义知p(A)+p(A)=1.
13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A1，A2，?，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An).
15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复
k试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=Cn?p(1-p).
k
n-k
17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,?,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,?,xi,?,ξ取每一个值xi(i=1,2,?)的概率p(ξ=xi)=pi，则称表 ξ p
x1 p1 x2 p2 x3 p3 - 2 - ? ? xi pi ? ? 尤新教育辅导学校
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=(x1-Eξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+?+(xn-Eξ)2pn+?为ξ的均方差，简称方差。D?叫随机变量ξ的标准差。
18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，
kkn?k这个事件恰好发生k次的概率为p(ξ=k)=Cnpq, ξ的分布列为
ξ p 0 00nCnpq 1 11n?1Cnpq ? ? xi kkn?kCnpq ? ? N nnCnp
此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p. 19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变
k-1
量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(ξ=k)=qp(k=1,2,?)，ξ的分布服从几何分布，Eξ=
1q，Dξ=2(q=1-p). pp二、方法与例题
1．乘法原理。
例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？
[解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，??这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×?×3×1=
(2n)!. n2?(n!)2．加法原理。
例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？ [解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；2）有2个电阻断路，
23有C4-1=5种可能；3）3个电阻断路，有C4=4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一
共有1+5+4+1=11种可能。 3．插空法。
例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？
6[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有A6种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个4位置中选出4个安排舞蹈有A7种方法，故共有A6?A7=604800种方式。
644．映射法。 例4 如果从1，2，?，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？
[解] 设S={1,2,?,14}，S'={1，2，?，10}；T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2
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''''''''''''≥3},T'={(a1)∈S'|a1},若(a1,a2,a3?S',a1?a2?a3,a2,a3)?T'，令,a2,a3'''a1?a1,a2?a2?2,a3?a3?4，则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从T'到T的映射，它显''''''然是单射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令a1?a1则(a1,a2?a2?2,a3?a3?4，,a2,a3)?T'，3从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|=|T'|?C10=120，所以不同取法有120种。
5．贡献法。
例5 已知集合A={1，2，3，?，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。
9
[解] 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有2个，所以a对x的贡
99
献为2，又|A|=10。所以x=10×2.
k[另解] A的k元子集共有C10个，k=1,2,?,10，因此，A的子集的元素个数之和为1210019C10?2C10???10C10?10(C9?C9???C9)?10×29。
6．容斥原理。
例6 由数字1，2，3组成n位数(n≥3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n位数有多少个？
n123
[解] 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3，用A，A，A分别表示不含1，
n
不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2，|A1?A2|=|A2?A3|=|A1?A3|=1。|A1?A2?A3|=0。 所以由容斥原理|A1?A2?A3|=
?|Ai?13i|??|Ai?Aj|?|A1?A2?A3|=3×2n-3.所以
i?jn
n
满足条件的n位数有|I|-|A1?A2?A3|=3-3×2+3个。
7．递推方法。
例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？
[解] 设能构造an个符合要求的n位数，则a1=3，由乘法原理知a2=3×3-1=8.当n≥3时：1）如果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1；2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).这里数列{an}的特征方程为x=2x+2，它的两根为x1=1+3,x2=1-3,故an=c1(1+3)+
2
n
c2(1+
3
143),
n
由a1=3,a2=8得
c1?2?323,c2?3?223，所以
an?[(1?3)n?2?(1?3)n?2].
8．算两次。
例8 m,n,r∈N+，证明：Cn?m?CnCm?CnCm?CnCmr0r1r?12r?2r0???CnCm. ①
r[证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有Cn另一方面，从这n+m人中选?m种；
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