发布时间 : 星期日 文章全国高中数学联赛训练题更新完毕开始阅读b5549603de80d4d8d15a4f00
高中数学竞赛训练题
1．设全集I={(x,y)|x,y∈R}，集合M=?(x,y)??y?3??1?，N={(x，y)|y≠x+1}，那么CIM∩CIN等于x?2?D．{(x，y)|y=x+1}
（ ）
A．?
B．{(2，3)}
C．（2，3）
2．函数f(x)=log1（x2-2x-3）的单调递增区间是（ ）
2A．（-≦，-1） B．（-≦，1） C．（1，+≦） D．（3，+≦）
23．设全集是实数集，若A={x|
A．{2}
B．{-1}
x?2≤0}，B={x|10x
C．{x|x≤2}
?2=10x}，则A∩B是（ ） D．?
4．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a2}，当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样
的（A，B）对的个数有（ ）
A．8 B．9 C．26 D．27
5．若非空集事A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?A∩B成立的所有a的集合是（ ） A．{a|1≤a≤9} 6．函数f(x)?B．{a|6≤a≤9}
C．{a|a≤9}
D．?
xx?（ ）
1?2x2
B．是奇函数但不是偶函数
D．既不是偶函数也不是奇函数
A．是偶函数但不是奇函数 C．既是偶函数又是奇函数
7．设f(x)是一个函数，使得对所有整数x和y，都有f(x?y)=f(x)+f(y)+6xy+1和f(?x)?f(x) 则f(3)?———————————
8．如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2 + px +q（p∈[-4, -2]）与g(x)?x?小值，那么f(x)在该区间上的最大值是———————————
9．一次函数f(x)=ax+b的图象经过点（10，13），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），其中p是质数，q是正整数，则满足条件所有一次函数为 .
10．已知f(x)=sinx+cos(x+t)为偶函数，且t满足不等式t2 - 3t -40 < 0，则t的值为 . 11．设M={1，2，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，19x?A，是A中元素的个数最多是 .
12．已知f(x)的定义 在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x?5)≥f(x)+5
1在同一点取相同的最x2f(x?1)≤f(x)+1 若g(x)=f(x)+1- x，则g(2002)= .
1
1213x?在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]. 22114．设a∈R，求函数f(x)=2ax?在区间(0,1]上的最大值.
x13.若函数f(x)=?15．设函数f(x)=ax2 + 8x +3（a<0），对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立.
问：a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a).证明你的结论.
16．设x∈[-1,1]时，恒有|ax2+bx+c|≤1，求证：当x∈[-1，1]时，有|cx2±bx+a|≤2.
17．设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数，且满足条件：①f(?1)?f(1)?0；②对任意的u，v???1,1?,都有|f(u)?f(v)|≤|u-v|.
（1）证明：对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
（2）证明：对任意的u，v∈[-1,1]，都有|f(u)?f(v)|≤1； （3）在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)，使得
1?|f(u)?f(v)|?|u?v|,当u,v?[0,],??2若? ?|f(u)?f(v)|?|u?v|,当u,v?[1,1].?2?存在，请举一例；若不存在，请说明理由。
18. 设An={1，2，…，n},证明或否定下列命题对所有正整数n≥2，存在函数 f:An→An 和 g:An→An，满足条件：
f(f(k))?g(g(k))?k，k=1，2，…，n， g(f(k))?k?1, k=1，2，…，n-1.
19．A1，A2，…，A30是集合{1，2，…，2 003}的子集，且|Ai|≥660，i=1，2，…，30.证明：存在
i,j∈{1，2，…30}，i≠j,使得|Ai∩Aj|≥203.
20．函数f(x)对一切x>0有定义且取正值，又当a，b，c为三角形三边时，f(a)，f(b)，f(c)仍可构成三角形的三边长.证明：存在正数A和B，使得对一切x>0，都有f(x)≤Ax+B.
221.若A是S={1，2，…，n}的一k元子集，m为正整数,满足条件n>(m-1)(Ck+1),则存在S中的元
素t1，…,tm，使得:
Aj={x+tj|x∈A},j=1，…，m中任意两个的交集为空集.
2
22。数集M由2003个不同的实数组成，对于M中任何两个不同的元素a和b,数a?b2都是有
2理数。证明：对于数集M的任何一个数都是有理数。
23.称有限集S的所有元素的乘积为的“积数”。给定数集M=?,,?,偶数个元素的子集的“积数”之和。 24． 设集合Sn??1,2,?,n?11?231?。求数集M的所有含100?。如果X是Sn的子集，把X中的所有数的和称为的容量（规定空集的
容量为0）。如果X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集。
（1）。求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等。 （2）。求证：当n?3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等。 （3）。当n?3时，求Sn的所有奇子集的容量之和。 25 求y?(3x?1)9x2?6x?5?1)?(2x?3)?(4x2?12x?13?1)的图像与x轴的交点坐标
ax2?126．设a＞0,r(x)?,讨论函数r(x)在(0,≦)上的单调性，最小值，最大值。
x27．设二次函数f(x)?ax2?bx?c (a,b,c?R,a?0)满足条件： （1） 当x?R时，且f(x?4)?f(2?x),f(x)≥0。
x2?12)。 （2） 当x?(0,2)时，f(x)≤(2（3） 在R上的最小值为0。
求最大的m(m?R)，使得存在t?R，只要x??1,m?，就有
f(x?t)≤x
28．设f为R?R的函数，对任意的正实数x,f(3x)?3f(x),且f(x)?1?x?2,1≤x≤3求最小的实数x，使得f(x)?f(2004）.
??x4?kx2?129. k是实数，f(x)?4, 对任意三个实数a,b,c, 存在一个以为f(a), f(b), f(c)三边长2x?x?1的三角形，求k的取值范围。
30. 设N是非负整数集，f:N?N是一个函数，使得对任意n?N，都有
(f(2n?1))2?(f(2n))2?6f(n)?1 f(2n)≥f(n)
问：f(N)中有多少个元素小于2003 ?
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31. 已知二次函数f(x)?x2?ax?b(a,b?R) （1）。若方程f(x)?0无实根，求证：b＞0.
(2). 若方程f(x)?0有两实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(?a)?12(a?1)。 4（3）。若方程f(x)?0有两个非整数实根，且这两实根都在相邻的两个整数之间，求证：存在整数k，使得f(k)?1成立。 4（4）。若方程f(x)?0有两个非整数实根，且这两实根在相邻的两个整数之间，请你探求当a,b满足什么条件时，一定存在整数k，使得f(k)?1成立。 432．设n?N,nsin1＞5 cos1+1，则n的最小值是( ) A. 4 B . 5 C. 6 D. 7 33. M . N在Rt△ABC的斜边AB上，
AM1AN3?,?, 那么M，N两点分别到两直角边的距离MB4NB2之和与?ABC的周长之比的最大可能值是（ ） A．
162110?4310?43 B。 C。 D。
555534．如果函数f(x)?sinnxsinnx?cosncosnx?cosn2x,对任意x?R都使f(x)为常数，则正整数n应为（ ）
A．1 B。3 C。3或1 D。不存在 35．关于x的方程2cos2(22x?x)?a?3sin(22x?x22?1) 至少有一个解，则实数a取值范围是
（ ）
A. （-1， 2 ） B .（-1，2） C。[-1，2 ] D。[-1，2]
236．设f(x)=x??x，??arcsin1515，??arctan，??arccos(?),??arccot(?),那么 3434
B．f(?)>f(?)>f(?)>f(?) D．f(?)>f(?)>f(?)>f(?)
A．f(?)>f(?)>f(?)>f(?) C．f(?)>f(?)>f(?)>f(?)
37. 锐角?,?满足?
A. a>b B. a
11222sinx?1)的值域是 . 39．函数y?arccot(sinx?338．函数y?arcsin(x?)?arcsin(x?)的定义域是 ，值域是 .
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