发布时间 : 星期五 文章2017年湖南省湘潭市中考数学试卷(含答案解析)更新完毕开始阅读afdba88aff4733687e21af45b307e87100f6f8d8
圆同侧作正方形BCDE，过点M作⊙O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN．
（1）探究：如图一，当动点M在上运动时；
①判断△OEM∽△MDN是否成立？请说明理由； ②设
=k，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
③设∠MBN=α，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2）拓展：如图二，当动点M 在
上运动时；
分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）
【分析】（1）①由正方形的性质得出BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°，由切线的性质和直角三角形的性质证出∠EOM=∠DMN，即可得出△OEM∽△MDN；
②作BG⊥MN于G，则BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBM=∠GBM，由AAS证明△BME≌△BMG，得出EM=GM，BE=BG，证出BG=BC，由HL证明Rt△BGN≌Rt△BCN，得出GN=CN，证出EM+NC=GM+NC=MN，即可得出结论； ③由全等三角形的性质得出∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN，求出∠MBN=∠EBC=45°即可； （2）（1）中的三个结论保持不变；解法同（1）． 【解答】解：（1）①△OEM∽△MDN成立，理由如下： ∵四边形BCDE是正方形，
∴BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°， ∴∠EOM+∠EMO=90°， ∵MN是⊙O的切线， ∴MN⊥OM， ∴∠OMN=90°，
∴∠DMN+∠EMO=90°， ∴∠EOM=∠DMN， ∴△OEM∽△MDN； ②k值为定值1；理由如下： 作BG⊥MN于G，如图一所示： 则BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°， ∴∠OMB=∠GBM， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠OMB， ∴∠OBM=∠GBM， 在△BME和△BMG中，∴△BME≌△BMG（AAS）， ∴EM=GM，BE=BG， ∴BG=BC，
在Rt△BGN和Rt△BCN中，∴Rt△BGN≌Rt△BCN（HL）， ∴GN=CN，
∴EM+NC=GM+NC=MN， ∴k=
=
=1；
，
，
③设∠MBN=α，α为定值45°；理由如下： ∵△BME≌△BMG，Rt△BGN≌Rt△BCN， ∴∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN， ∴∠MBN=∠EBC=45°， 即α=45°；
（2）（1）中的三个结论保持不变；理由同（1），作BG⊥MN于G，如图二所示．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．