发布时间 : 星期六 文章数列综合测试题假期作业更新完毕开始阅读af4ca8fb5fbfc77da269b1da
数列综合测试题参考答案
一、
选择题
CABDC DDDBD DA 二、
填空题
2n+151
13、4,5,32 14、an=4- 15、n+1 16、2
2n(n+1)三、解答题
17.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1.
⑵当n=1时,c1=3 当n≥2时,∵cn?an?1?an,∴cn???bn3(n?1)n?1?2?3(n?2) 故cn?2?3n?1
?c1?c2???c2004?3?2?3?2?32???2?32003?32004
18.解:(1)∵n,an,Sn成等差数列, ∴Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1 (n≥2), ∴an=2an-1+1 (n≥2),
两边加1得an+1=2(an-1+1) (n≥2), an+1∴=2 (n≥2). an-1+1
又由Sn=2an-n得a1=1.
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列, ∴an+1=2·2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)知,Sn=2an-n=2n+1-2-n, ∴Sn+1-Sn=2n+2-2-(n+1)-(2n+1-2-n) =2n+1-1>0,
∴Sn+1>Sn,{Sn}为递增数列. 由题设,Sn>57,即2n+1-n>59. 又当n=5时,26-5=59,∴n>5.
∴当Sn>57时,n的取值范围为n≥6(n∈N*).
5
19.解:(1)由于不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素, ∴Δ=a2-4a=0?a=4, 故f(x)=x2-4x+4.
由题Sn=n2-4n+4=(n-2)2 则n=1时,a1=S1=1;
n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5, ?1 n=1,
故an=?
?2n-5 n≥2.?-3 n=1?
(2)由题可得,cn=?4
1- n≥2?2n-5?由c1=-3,c2=5,c3=-3, 所以i=1,i=2都满足ci·ci+1<0, 1
当n≥3时,cn+1>cn,且c4=-3, 4
同时1->0?n≥5,
2n-5
可知i=4满足ci、ci+1<0,n≥5时,均有cncn+1>0.
∴满足cici+1<0的正整数i=1,2,4,故数列{cn}的变号数为3. 11
20.解:(1)经计算a3=3,a4=4,a5=5,a6=8. 当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列, ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1.
1
当n为偶数时,an+2=2an,即数列{an}的偶数项成等比数列, 1-1
∴a2n=a2·(2)n1=(2)n.
n (n为奇数),??因此,数列{an}的通项公式为an=?1n
() (n为偶数).??22
.
6
1n
(2)∵bn=(2n-1)·(2),
112131n∴Sn=1·+3·()+5·()+?+(2n-3)·(
2222)①
11213141n1n+1
S()+3·()+5·()+?+(2n-3)·()+(2n-1)·(, n=1·222222)②
①②两式相减,
1112131n1n+1得2Sn=1·+2[()+()+?+()]-(2n-1)·(
22222) 11n-1·[1-(
2)]121n+1
=2+-(2n-1)·(
12) 1-231=2-(2n+3)·(2)n+1. 1∴Sn=3-(2n+3)·(2)n.
Sn11121.解:(1)由已知得=n+,
n22111
∴Sn=2n2+2n. 当n≥2时, an=Sn-Sn-1
111111
=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=n+5; 当n=1时,a1=S1=6也符合上式. ∴an=n+5.
由bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列, 9(b1+b9)
由{bn}的前9项和为153,可得=9b5=153,
2得b5=17,又b3=11,
b5-b3
∴{bn}的公差d=2=3,b3=b1+2d, ∴b1=5,∴bn=3n+2.
7
-
1
1
+(2n-1)·(2)n,
(2)cn=
3111
=2(-),
(2n-1)(6n+3)2n-12n+1
11
-) 2n-12n+1
1111
∴Tn=2(1-3+3-5+?+11=2(1-).
2n+1∵n增大,Tn增大, ∴{Tn}是递增数列. 1
∴Tn≥T1=3.
k1kTn>57对一切n∈N*都成立,只要T1=3>57, ∴k<19,则kmax=18.
11
22.解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得a-=3(n≥2),
nan-11
故数列{a}是等差数列.
n
1
(2)将an=b=
n111代入λan+≥λ并整理得λ(1-)≤3n+1, 3n-2an+13n-2
∴λ≤
(3n+1)(3n-2)
,原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.
3n-3
(3n+1)(3n-2)(3n+1)(3n-4)
设Cn=,则Cn+1-Cn=>0,故Cn+1>Cn,
3n-33n(n-1)28
∴Cn的最小值为C2=3, 28
∴λ的取值范围是(-∞,].
3
8