发布时间 : 星期二 文章2019-2020学年山东省淄博市高考数学二模试卷(理科)(有答案)更新完毕开始阅读ae344129f66527d3240c844769eae009591ba264
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当x=﹣lna时,f(x)取得极小值为f(﹣lna)=lna, 函数f(x)有且仅有一个极小值点x=﹣lna,
所以当a≤0时,f(x)没有极值点,当a>0时,f(x)有一个极小值点. (Ⅱ)命题“?x∈[0,+∞),f(x)≥kg(x)”是假命题, 则“?x∈[0,+∞),f(x)<kg(x)”是真命题, 即不等式f(x)<kg(x)在区间[0,+∞)内有解.
若a=1,则设F(x)=f(x)﹣kg(x)=e+kln(x+1)﹣(k+1)x﹣1, 所以设则
﹣(k+1), ﹣(k+1),
,且h'(x)是增函数,
x
所以h'(x)≥h'(0)=1﹣k 当k≤1时,h'(x)≥0,
所以h(x)在[0,+∞)上是增函数,h(x)≥h(0)=0,即F'(x)≥0, 所以F(x)在[0,+∞)上是增函数,
所以F(x)≥F(0)=0,即f(x)≥kg(x)在x∈[0,+∞)上恒成立. 当k>1时,因为
因为h'(0)=1﹣k<0,h'(k﹣1)=
所以h'(x)在(0,k﹣1)上存在唯一零点x0,
当x∈[0,x0)时,h'(x)<h'(x0)=0,h(x)在[0,x0)上单调递减, 从而h(x)≤h(0)=0,即F'(x)≤0,所以F(x)在[0,x0)上单调递减, 所以当x∈(0,x0)时,F(x)<F(0)=0,即f(x)<kg(x). 所以不等式f(x)<kg(x)在区间[0,+∞)内有解 综上所述,实数k的取值范围为(1,+∞).
21.已知椭圆C:
,点P是椭圆C上任意一点,且点M满足
(λ>1,λ是常数).当
在[0,+∞)是增函数,
,
点P在椭圆C上运动时,点M形成的曲线为Cλ. (Ⅰ)求曲线Cλ的轨迹方程;
(Ⅱ)过曲线Cλ上点M做椭圆C的两条切线MA和MB,切点分别为A,B. ①若切点A的坐标为(x1,y1),求切线MA的方程;
②当点M运动时,是否存在定圆恒与直线AB相切?若存在,求圆的方程;若不存在,请说明理由. 【考点】K4:椭圆的简单性质.
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【分析】(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),对应的点P的坐标为.
由于点P在椭圆C上,得
(Ⅱ)①当过点A切线的斜率存在时,
,即得曲线Cλ的轨迹方程.
设该切线的方程为y﹣y1=k(x﹣x1),联立方程组,
由△=0,得,得;得过点A的切线方程为
过点A切线的斜率不存在时,符合方程②存在定圆恒与直线AB相切; 可得A,B两点坐标都满足方程
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,且点M的坐标为(m,n)满足曲线Cλ的方程:,
即原定O到直线AB的距离为,即直线AB始终与圆相切.
【解答】解:(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),对应的点P的坐标为.
由于点P在椭圆C上,得,
即曲线Cλ的轨迹是椭圆,标准方程为(Ⅱ)①当过点A切线的斜率存在时,
设该切线的方程为y﹣y1=k(x﹣x1),即y=kx+(y1﹣kx1)
联立方程组,
即由△=0,得即
,
,
,
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,得;
.
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此时过点A的切线方程为
过点A切线的斜率不存在时,切点为(±2,0),方程为x=±2, 符合方程
形式.
②存在定圆恒与直线AB相切;
设切点B(x2,y2),与A,B两点对应的点M的坐标设为(m,n); 同理过点B的切线方程为
同时两条切线MA和MB都过点M(m,n),所以.
即A,B两点坐标都满足方程,
,
且点M的坐标为(m,n)满足曲线Cλ的方程:
即原定O到直线AB的距离为,
所以直线AB始终与圆
相切.
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