发布时间 : 星期五 文章全国自考《高等数学（工专）》串讲资料更新完毕开始阅读ade040e830126edb6f1aff00bed5b9f3f80f7293
高等数学（工专）串讲资料
第一部分 函数
常见考试题型：
1．求函数的自然定义域。
2．判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3．求反函数。
4．求复合函数的表达式。
一、 概念回顾
初等函数：由基本初等函数，经过有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。
基本初等函数的性质与图形如下表所示(T表周期)：
R?(??,??)R??(0,??)
名称 常 数 函 数 表达式 定义域 图 形 yC特 性 有界，偶函数 y?C R 0x 幂 函 数 1.81.61.41.210.80.6 ?而随y=x3y=xy=x1/3y=x-1y=x-2??0时在R? 单增； y?x ?异，但在R?上 均有定义 ??0时在R? 1.80.40.2000.20.40.60.811.21.41.6 单减． 无界 指 数 函 数 y?axa?0a?1 4.543.532.521.510.50-0.5-2.5-2-1.5-1-0.5yy=axy=axa?1单增． 0?a?1 单减． R 0 二、典型例题 例1：求f(x)?ln(x?x?2)?2sinx的定义域D。 x?2知识点：定义域 约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。 ?x2?x?2?0?x??1或x?2解：要使函数有意义必须满足?，即?， x??2??x?2?0故D?(?2,?1)?(2,??)。 例2：设函数f(x)是定义在(?a,a)上的任意函数，证明： （1）g(x)?f(x)?f(?x),x?(?a,a)是偶函数 （2）g(x)?f(x)?f(?x),x?(?a,a)是奇函数 知识点：奇偶性 若对于任何x，恒有f(?x)??f(x)成立，则称f(x)是奇函数。若对于任何x，恒有f(?x)?f(x)成立，则称f(x)是偶函数． 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称 分析：因为g(x)是定义在对称区间上，根据定义，只需证明： （1）g(?x)?g(x) （2）g(?x)??g(x) 只证（1）：g(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?g(x)偶函数。 例3：下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）。 1 [0，1] x?1C．f (x)=ex (-∞，+∞) 知识点：函数的有界性 A．f (x)= 1 （-1，0） x?1D．f (x)=lnx (0，+∞) B．f (x)= 解：A当0?x?1时，1?x+1?2? B． lim111在[0，1]上为有界函数。 ??1，故f (x)=x?12x+111在（-1，0）上为无界函数。 =?故f (x)= x?-1x+1x?1C D结合函数图像判断。 ?例4：设f (x)=x3-x，?(x)?sin2x，则f [?(?)]=( )。 4A.-2 B.?知识点：复合函数 解：f2 C.0 D.2 2??(x)?=sin32x-sin2x