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北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
即当n＝k＋1时，猜想也正确，所以对任意的n∈N＋，不等式成立．
16．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数11
1时，从B口得到，记为f(1)＝；②当从A口输入自然数n(n≥2)时，在B口得到的结果f(n)是前一个结
332?n－1?－1
果f(n－1)的倍．
2?n－1?＋3
(1)当从A口分别输入自然数2,3,4时，从B口分别得到什么数？试猜想f(n)的关系式，并证明你的结论；
(2)记Sn为数列{f(n)}的前n项和，当从B口得到16 192 575的倒数时，求此时对应的Sn的值． 2n－3
解：(1)由已知得f(n)＝f(n－1)(n≥2，n∈N＋)，
2n＋14－3111
当n＝2时，f(2)＝×f(1)＝×＝，
53154＋111
同理可得f(3)＝，f(4)＝，
35631
猜想f(n)＝.(*)
?2n－1??2n＋1?用数学归纳法证明如下：
①当n＝1,2,3,4时，由上面的计算结果知(*)成立． ②假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时，(*)成立， 1
即f(k)＝，
?2k－1??2k＋1?那么当n＝k＋1时，
2k－12k－11
f(k＋1)＝f(k)＝·，
2k＋32k＋3?2k－1??2k＋1?即f(k＋1)＝
1
，
[2?k＋1?－1][2?k＋1?＋1]
∴当n＝k＋1时，(*)也成立． 综合①②所述，对所有的n∈N＋， 1
f(n)＝恒成立．
?2n－1??2n＋1?(2)由(1)可得
1
＝
?2n－1??2n＋1?
11
＝，
16 192 575?2×2 012－1?×?2×2 012＋1?∴n＝2 012.
1?1?1－∵f(n)＝2n－12n＋1，
2??
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∴S2 012
?
＝?＝ ?21111??????5－7?＋…＋?4 023－4 025??
?1－1?＋?1－1?＋?1?3??35?
1?2 0121?
1－＝. 2?4 025?4 025
阶段质量评估(一) 推理与证明
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)
解析：A，B，C所得结论均为错误结论，只有D所得结论正确． 答案：D
2．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面三角形( )
A．内任一点 C．中心
B．某高线上的点 D．外的某点
解析：将三角形类比为正四面体，三角形三边的中点可类比为四个侧面三角形的中心． 答案：C
3．在△ABC中，sin Asin C＞cos Acos C，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不确定
解析：由sin Asin C＞cos Acos C，可得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0，所以B为锐角，但并不能判断角A，C，故选D．
答案：D
4．用反证法证明：“方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”时，正确的假设是方程存在实数根x0为( )
A．整数
B．奇数或偶数
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C．正整数或负整数 D．自然数或负整数
解析：方程没有整数根的否定是方程有整数根，在方程ax2＋bx＋c＝0中，a，b，c都是奇数，故0不是方程的根，因此正确的假设是方程存在实数根x0为正整数或负整数．
答案：C
5．用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋a得结果为( )
A．1 C．1＋a＋a2
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
2
n＋1
1－an2＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所
1－a
＋
解析：n＝1时，代入n＋1得2，故验证n＝1成立时，左边应为1＋a＋a2. 答案：C
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值
－
为( )
11A．a＝，b＝c＝
241
C．a＝0，b＝c＝
4
1
B．a＝b＝c＝
4
D．不存在这样的a，b，c
3?a－b?＋c＝1，??
解析：令n＝1,2,3，得?9?2a－b?＋c＝7，
??27?3a－b?＋c＝34，立．
答案：A
7．用数学归纳法证明1＋A．1 C．3
11
解得a＝，b＝c＝.经验证此时等式对一切n∈N＋均成
24
11
＋…＋＞n(n∈N＋)的步骤(1)中，验证n的初始值为( ) 2n
B．2 D．4
解析：n＝1时不等式不成立，n＝2时不等式成立，因此步骤(1)中验证n的初始值为2. 答案：B
8．已知数列{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3·…·b9＝29.若数列{an}为等差数列，a5＝2，则数列{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3·…·a9＝29 B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29 C．a1a2a3·…·a9＝2×9 D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列的性质知a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5. 答案：D
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9．下列结论正确的是( ) A．当x＞0且x≠1时，lg x＋B．当x＞0时，x＋
1
≥2 x1
≥2 lg x
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0＜x≤2时，x－无最大值
x
1
解析：选项A错在lg x的符号不确定；选项C错在等号成立的条件不存在；根据函数f(x)＝x－的单
x3
调性，当x＝2时，f(x)取最大值，故选项D不正确．
2
答案：B
10．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“○”：★○★○○★○○○★○○○○★○○○○○★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是( )
A．60 C．62
B．61 D．63
解析：第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置，第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n)个位置．
n?n＋1?
∵1＋2＋3＋…＋n＝，
2
n?n＋1?62×?62＋1?
当n＝62时，＝＝1 953，
222 014－1 953＝61＜63，
∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62. 答案：C
11．用数学归纳法证明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为( )
A．2k＋1 2k＋1
C．
k＋1
B．2(2k＋1) 2k＋3D． k＋1
解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)， ?2k＋1??2k＋2?
所以，增乘的式子为＝2(2k＋1)．
k＋1答案：B
12．对于函数f(x)，g(x)和区间D，如果存在x0∈D，使|f(x0)－g(x0)|≤1，则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出下列四对函数：
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