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北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
?x0＋Δx?2＋?x0＋Δx?－2－?x20＋x0－2?
则k＝lim ＝
ΔxΔx→02x0＋1＝3. ∴x0＝1.∴y0＝0. ∴M点的坐标为(1,0)． 答案：B
3．做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为( ) A．0 B．3 C．－2
D．3－2t
解析：该物体在t＝0时的瞬时速度
v＝Δlimt→0 3Δt－?Δt?2－0
Δt＝Δlimt→0 (3－Δt)＝3－0＝3.
答案：B
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是( A．1 B．12
C．－1
2
D．－1 解析：由题意得2＝a?1＋Δlimx→0 Δx?2－a
Δx＝Δlimx→0 (2a＋aΔx)＝2a，
∴a＝1. 答案：A
5．曲线y＝f(x)在点(xπ
0，f(x0))处的切线倾斜角是4，则f′(x0)＝( )
A．π4 B．－π
4 C．－1
D．1
解析：由题意知f′(xπ
0)＝tan 4＝1.
答案：D
6．曲线f(x)＝x2在曲线上某点的切线的倾斜角为3π
4，则此点的坐标是________．解析：设所求点的坐标为(x0，x20)，由题意得 f′(x0)＝－1.
利用导数的定义求得f′(x0)＝2x0， 故2x1，x10＝－0＝－2.
故所求点的坐标为?11?－2，4??. 43
)
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11－，? 答案：??24?7．已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝________. 25
解析：f′(1)＝，f(1)＝1，则f(1)＋f′(1)＝. 335
答案： 3
8．已知函数y＝x3－1，当x＝2时，lim →
Δx0
33
Δy?x0＋Δx?－1－?x0－1?解析：＝
ΔxΔx2
＝3x20＋3x0·Δx＋(Δx)，
Δy
等于__________________． Δx∴lim →
Δx0
Δy222
＝lim[3x＋3x·Δx＋(Δx)]＝3x000. ΔxΔx→0
∴f′(x0)＝3x20. ∴f′(2)＝3×22＝12. 答案：12
1
9．求函数y＝f(x)＝x－在x＝1处的导数．
x解：Δy＝(1＋Δx)－
11Δx1－?＝Δx＋－?，
1＋Δx?1?1＋Δx
Δx
Δx＋
1＋ΔxΔy1
＝＝1＋， ΔxΔx1＋Δx
Δx0
lim →
Δy?1＋1?＝2. ＝lim
ΔxΔx→0?1＋Δx?
10．已知曲线C：y＝f(x)＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点P的坐标为(1,1)． ?1＋Δx?3－1Δy
因为f′(1)＝lim ＝lim ＝
ΔxΔx→0ΔxΔx→0
Δx0
2
lim[3＋3Δx＋(Δx)]＝3， →
所以过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0.
??y＝3?x－1?＋1，(2)由??(x－1)2(x＋2)＝0， 3
?y＝x?
∴x1＝1，x2＝－2.
所以公共点为(1,1)和(－2，－8)，
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说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．
11．下列各式中正确的是( ) A．f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0－Δx?－f?x0?
Δxf?x0－Δx?＋f?x0?
Δxf?x0＋Δx?＋f?x0?
Δxf?x0?－f?x0－Δx?
Δx
B．f′(x0)＝lim →
Δx0
C．f′(x0)＝lim →
Δx0
D．f′(x0)＝lim →
Δx0
解析：由导数的定义可知， f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝
Δx
Δx0
lim →
f?x0－Δx?－f?x0?
，
－Δx
故排除A，B，C． 在D中，f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0?－f?x0－Δx?
＝
Δx
Δx0
lim →
f?x0－Δx?－f?x0?
.
－Δx
答案：D
31
1，－?，则过点P的切线的倾斜角为________． 12．已知曲线y＝x2－2上一点P?2??21
解析：令f(x)＝x2－2，
2
12?121
Δy＝(1＋Δx)2－2－??2×1－2?＝2Δx＋Δx， 212
Δx＋ΔxΔy21＝＝Δx＋1， ΔxΔx2∴lim →
Δx0
Δy?1Δx＋1?＝1. ＝lim ?ΔxΔx→0?2
3
1，－?的切线的斜率为1，切线的倾斜角为45°∴f′(1)＝1.∴过点P?. 2??答案：45°
13．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________． 解析：设P(x0,2x20＋4x0)， 则f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝
Δx
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2?Δx?2＋4x0·Δx＋4Δxlim ＝4x0＋4.
ΔxΔx→0
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16.∴x0＝3.∴P(3,30)． 答案：(3,30)
14．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
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解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax0－9x0－1)＝(3x0＋2ax0－
9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴
Δy2
＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx). Δx
Δy2
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x0＋2ax0－9.
Δx即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9， aa
x0＋?2－9－. ∴f′(x0)＝3?3??3
aa2
当x0＝－时，f′(x0)有最小值－9－. 33∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， a2
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
3解得a＝±3. 又a＜0，∴a＝－3. 1415．已知曲线y＝x3＋.
33
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程，所求切线与曲线是否还有其他公共点？若有，请求出其坐标；若没有，试说明理由．
14
解：(1)由导数的定义求得函数f(x)＝x3＋在x＝2处的导数为f′(2)＝4.
33由导数的几何意义，点P(2,4)处的切线的斜率为4， 故所求的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
14?14
x0，x3＋(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A?303?，利用导数的定义和几何意义，切线?33的斜率为k＝f′(x0)＝x20，
134?2
切线方程为y－??3x0＋3?＝x0(x－x0)．
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2