发布时间 : 星期六 文章江西省重点中学协作体2019届高三下学期第一次联考数学(理科) Word版含解析更新完毕开始阅读ad6bd09d88eb172ded630b1c59eef8c75fbf95ca
11．我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，求图中四分之一圆柱体BB1C1﹣AA1D1和四分之一圆柱体AA1B1﹣DD1C1公共部分的体积V，若图中正方体的棱长为2，则V=（ ）
（在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得锥体所得面积为S3，
，
?S2﹣S1=S3）
A． B． C．8 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得锥体所得面积为S3，
，
?S2﹣S1=S3，求出S3=h2，再由定积分求出锥体体积，
由正方体的体积减去锥体体积即可．
【解答】解：在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截， 记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2， 截得锥体所得面积为S3， 可得
由S3=h2，可得则则V=8﹣=
，
?S2﹣S1=S3， h2dh=h3|．
=．
故选：A．
12．设A、B分别为双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P，Q
是双曲线C上关于x轴对称的不同两点，设直线AP、BQ的斜率分别为m、n，则A．
++ B．
+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C的离心率为（ ） C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），y02=b2（
﹣1）．A（﹣a，0），B（a，
0），利用斜率计算公式得到：mn=﹣，则+++ln|m|+ln|n|=+
++ln
=f（），令=t＞0，则f（t）=+t+t2﹣2lnt．利用导数研究其单调
性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出． 【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），y02=b2（
﹣1），
即有=，
由双曲线的方程可得A（﹣a，0），B（a，0）， 则m=
，n=
，
∴mn==﹣，
∴+++ln|m|+ln|n|=+++ln=f（），
令=t＞0，则 f（t）=+t+t2﹣2lnt． f′（t）=﹣
+1+t﹣=
，
可知：当t=f（∴=∴e==故选：D．
）=．
+
时，函数f（t）取得最小值 +×2﹣2ln
=2
+1﹣ln2．
==．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．二项式
的展开式中第四项的系数为 20 ．
【考点】二项式系数的性质． 【分析】根据二项式
展开式的通项公式，求出第四项的系数即可．
【解答】解：二项式展开式中，
第四项为T3+1=??，
∴展开式中第四项的系数为： ?
?23=20．
故答案为：20．
14．如图所示矩形ABCD边长AB=1，AD=4，抛物线顶点为边AD的中点E，且B，C两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边BC围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是
．
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】利用定积分求出阴影部分面积，求出矩形面积，即可得出结论． 【解答】解：以E为坐标原点，AD的垂直平分线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，可得抛物线方程为y2=4x， 取y=2
，则阴影部分的面积为2
=，
∵矩形的面积为4， ∴所求概率为=， 故答案为．
15．已知向量，满足：||=||=1，且且x+y=2，则||最小值是
．
，若=x+y，其中x＞0，y＞0
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由平面向量的数量积计算得出||的最小值．
【解答】解：∵||=||=1，且当=x+y时， =x2
+2xy?+y2
，利用基本不等式求出的最小值，即可
，
=x2+xy+y2 =（x+y）2﹣xy；
又x＞0，y＞0且x+y=2，