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第六单元 包含与排除 第一课时 基础篇
【知识要点】
1、概念；包含与排除问题也叫重叠问题。它是集合方面的知识 2、容斥原理 （1）总量=A+B-AB
（2）总量A+B+C-AB-BC-CA+ABC 【准备知识】
1、六（5）班同学中，有36人参加兴趣小组，有42人参加语文兴趣小组，有26人两样都参加。六（5）班有多少人？
2、六（6）班有56人，其中36人参加数学组，42人参加语文组，两样
都参加的有多少人？
例1、1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数有多少？ 想：（1）7的倍数；500÷7=71??3 即=71（个）
9的倍数；500÷9=55（个）
7，9的倍数500÷（7×9）=7（个） 即77+55-7=119（个） （2）不是7，9的倍数；500-119=381（个）
练：1.在1到200的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?
2.在1～1000的自然数中,不能被5或7整除的数共有多少个?
3.在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?
例2.李老师出了两道数学题,全班40人中,第一题有30人做对,第二题有12人末做对,
两题都做对的的20人.问第二道题对第一题不对的有几个人?两题都不对的有几个人? 想；（1）画图
（2）A表示对1错2， B表示错1对2，
C表示1，2都对， D表示1，2都错
（3）列式；A+B+C+D=40 A+C=30 A+D=12 D=20
（4）类比法；比较（2）与（4） （3）与（5） A=10，D=2 即B=8
整理；答对2错1的8人，两题都有错的有2人
练；1.有40名运动员,其中有25人会摔跤,有20人会击剑,有10人击剑、摔跤
都不会,问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人?
2.100个人参加测试,要求回答五道题,并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格.测试结果是:答对第一题的有81人,答对第二题的有91人,答对第三题的有85人,答对第四题的有79人,答对第五题的有74人,那么至少
有多少人及格?
3.在100名学生中,爱好音乐的有56人,爱好体育的有75人.那么既爱好音乐又爱好体育的人,最少有多少人?最多有多少人?
作业；1.某班有36个同学,在一次测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的
有23人,两题都答对的有15人.那么两题都不对的有多少人?
2.五一班期末考试语文得“优”的有15人,数学得“优”的有18人,两门功课都得“优”的有8人,两门功课都没得“优”的有20人,这个班共有多少人参加期末考试?
3.六年级90名学生,每人至少订《少年报》和《小学生学习报》不的一种.有2/3的人订了《少年报》,有1/2的人订了《小学生学习报》.两种报刊都订的有多少人?
第二课时 较复杂的容斥问题
【准备知识】
将A，B，C，（AB），（AC），（BC），（ABC）标在图中，说给同座位同学听。 例3.一批教师中,会英语的有65人,会俄语的有58人,会日语的有51人,既会英语又会俄语的有21人,既会英语又会日语的有19人,既会俄语又会日语的有17人,三种都会的有5人,三种都不会的有8人.这批教师有多少人? 想；（1）画图；
（2）A表示英语， B表示俄语，C日语，AB英俄，BC俄日，AC英日
ABC英俄日。
（3）公式；总量=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
=68+58+51-21-19-17+5=122（人） （4）122+8=130（人） 练；1.一张圆形纸片的半径是3厘米,一张正方形纸片的边长是4厘米.两张纸片
重叠一部分放在桌面上,覆盖桌面的面积为38平方厘米.问两张纸片重合部分的面积是多少?
2.如右图所示,三个正方形面积分别为25平方厘米、16平方厘米、9平方厘米.
它重叠在一起,盖住的面积为32平方厘米,且甲与乙公共部分为10平方厘米,乙与丙共公部分为6平方厘米,甲与丙公共部分为7平方厘米.求甲、乙、丙 三个公共部分(阴影部分)的面积.
3.五年级一班有32人参加数学竞赛,有27人参加英语竞赛,有22人参加参加语
文竞赛,其中参加英语和语文两科的有14人,参加数学和英语两科的有12人,参加数学和语文两科的有10人,那么五年级一班全班至少有多少人?
例4，分母是1001的最简分数共有多少个？ 想；（1）分母为1001的真分数，则分子不能是1001的分数 （2）1001=7×11×13
7的倍数；11×13=143（个）
11???，7×13=91（个） 13???，7×11=77（个）
7，11的公倍数；13个， 7，13的公倍数；11个 11，13的公倍数；7个， 7，11，13的公倍数，1个 （3）1001-（143+91+77-13-11-7+1）=720（个）
作业；1.分母是385的最简真分数共有多少个?这些真分数的和是多少?
2.某班参加体育活动的学生有25人,参加音乐活动的有26人,参加美术活动的有24人,同时参加体、音活动的有16人,同时参加音、美活动的有15人,同时参加体、美活动的有14人,三个组都参加的有5人.这个班共有多少名学生参加活动?
3.如图,三角形ABC是直角三角形,AC=4厘米,BC=1/2AC,以BC、AC分别为直径画半圆,两个半圆的交点D在AB边上,求图中阴影部分的面积.
4.有50个学生,他们穿的裤子是白色的或黑色的,上衣是红色的或蓝色的.若有14人穿的是蓝上衣白裤子,31人穿黑裤子,18人穿红上衣,那么穿红上衣黑裤子的学生有 个.
5.某班有52人,其中会下棋的有48人,会画画的有37人,会跳舞的有39人,这个班三项都会的至少有几人?
第三课时 竞赛题选讲
例5.每边长为10厘米的正方形纸片,正中间挖一个正方形的洞,成为宽1厘米的
方框.把五个这样的方框放在桌面上,成为右图的图案.问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米? 想；（1）一个方框的面积 10-（10-1×2）2=36CM2
（2）五个方框的面积；36×5=180CM
（3）五个方框重叠部分的面积；12×8=8CM2 （4）图形覆盖的面积；180-8=172CM2
试做；1.某校六年级举行语文和数学竞赛,参加人数占全年级总人数的40?.参
加语文竞赛的占竞赛人数的2/5,参加数学竞赛的占竞赛人数的3/4,两项都参加的有12人.这个学校六年级共有多少人?
2.某佼参加数学竞赛有120名男生.80名女生,参加语文竞赛的有120名女生.80名男生,已知该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生两科竞赛都 参加了,那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人?
3.在一本数学书的插图中,有100个平行四边形,80个长方形,40个菱形.这本书的插图中正方形最少有多少个?最多有多少个?
选做；1.某工厂第一季度有80%的人全勤,第二季度有85%的人全勤,第三季度有
95%的人全勤,第四季度有90%的人全勤.问全年全勤的人至多占全厂人数的百分之几?至少占全厂人数的百分之几?
2.经纬小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动,去过青年宫慰问的有19人,去过防满洪纪念塔的有18人,去过九站的有16人;去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人,去过青年宫、九站两处的有5人;有三人三处都去过;其余的在校准备慰问品.准备慰问品的有多少人? 作业；1.如图,四个圆两两相交,它们把四个圆分成了13个区域,如果在这些区域中分别填1～13这13人自然数,然后把各圆中的数各自相加,最后把这四个圆的和相加得总和,那么总和最小可能是多少?
2.某校五年级共有110人,参加语文、数学、英语三科活动小组,每人至少参加一组.已知参加语文小组的有52人,只参加语文小组的有16人;参加英语小组的有61人,只参加英语小组的有15人;参加数学小组的有63人,只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人?