发布时间 : 星期六 文章[高中教育]最新高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3-1直线与平面垂直教案新人教B版必修2更新完毕开始阅读a922f56c5122aaea998fcc22bcd126fff6055d13
(2)如下图，如果直线l平行于直线m，且直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b.根据空间两条直线垂直的定义，易知，m与直线a和b也垂直，所以m与平面α垂直． 推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (3)推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B(如下图) 求证：l∥m. 证明：假设直线m不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l， 由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α. 设m和m′确定的平面为β，α与β的交线为a. 因为直线m和m′都垂直于平面α， 所以直线m和m′都垂直于交线a. 因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条， 所以直线m和m′必重合，即有l∥m. 思路1 例1 过一点和已知平面垂直的直线只有一条． 已知：平面α和一点P(如下图)． 甲 乙 5 / 12 求证：过点P与α垂直的直线只有一条． 证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条． 变式训练 如下图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC.问：四面体PABC中有几个直角三角形？ 解：因为PA⊥平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC. 所以△PAB，△PAC为直角三角形． 又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB. 又PB平面PAB，于是BC⊥PB，? 所以△PBC也为直角三角形． 所以四面体PABC中的四个面都是直角三角形． 例2有一根旗杆AB高8 m(如下图)，它的顶端A挂着两条长10 m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D(和旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 解：在△ABC和△ABD中， 因为AB＝8 m，BC＝BD＝6 m，AC＝AD＝10 m， 所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2， 6 / 12 AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2. 所以∠ABC＝∠ABD＝90°， 即AB⊥BC，AB⊥BD. 又知B，C，D三点不共线， 因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直． 变式训练 如下图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC. (1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC； (2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥面ASC. 证明：(1)在等腰三角形SAC中，D为AC的中点， ∴SD⊥AC，取AB的中点E，连DE、SE. ∵ED∥BC，AB⊥BC， ∴DE⊥AB. 又SE⊥AB，∴AB⊥面SED， ∴AB⊥SD，又AB∩AC＝A，∴SD⊥面ABC. (2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC， 又SD⊥面ABC，∴SD⊥BD， ∵SD∩AC＝D，∴BD⊥面ASC. 例3 已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l. 求证：AP在α内． 证明：设AP与l确定的平面为β.假设AP不在α内，则设α与β相交于直线AM(如下图)． 因为l⊥α，AMα，所以l⊥AM.? 7 / 12 又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l.这是不可能的，所以AP一定在α内． 变式训练 如下图，已知直线a⊥b，b⊥α，aα. 求证：a∥α. 证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β＝a′， ∵b′∥b，a⊥b，∴a⊥b′. ∵b⊥α，b′∥b，∴b′⊥α. 又∵a′α，∴b′⊥a′.? 由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′ 知a∥a′.∴a∥α. 点评：反复使用线面垂直的性质定理和判定定理，是解决立体几何垂直问题的常用策略.2. 20xx安徽，理4 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 解析：垂直于同一个平面的两条不同的直线平行． 答案：D 思路2 例4 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心． 8 / 12