发布时间 : 星期二 文章《应用泛函分析》习题解答更新完毕开始阅读a730a9ee998fcc22bcd10d13
?(?1,?2,?),(?2,?3,?)?x,(?2,?3,?)。
所以Ty?(?2,?3,?)。
2222． 设T:l?l定义为Tx?(?2,?3,?)，x?(?k)?l。求T的共轭算子。 解：令y?(?1,?2,?)。则Tx,y?(?2,?3,?),(?1,?2,?)??2?1??3?2??
*证明：1）?2）。A在x0处连续???1?0，???0，当x?x0??时，
Ax?Ax0??1。
设xk?x0???2?0，?N0?0，当k?N0时，xk?x0??2。特别得取
?2??，有??1?0，当k?N0时，Axk?Ax0??1。所以Axk?Ax0。
2）?1）。若A在x0处不连续????0，???0，当x?x0??时，但
?(?1,?2,?),(0,?1,?2,?)?x,(0,?1,?2,?)。
所以Ty?(0,?1,?2,?)。
*Ax?Ax0??。特别得对于?＝?1第 五 节
1． 设T是Hilbert空间H上的自伴算子且T有有界逆算子。证明T子。 证明：Tx,y?Tx,T(T是自伴算子。
2pan{e2,e4,?}，2． 设{ek}是l中的完备标准正交系，其中ek?(?ki)。令M?s11也成立，取xk?B(x0,)，但kkAxk?Ax0??。因此有xk?x0，Axk不收敛于Ax0，这与Axk?Ax0矛盾。
也是自伴算
?1所以对D中任何收敛于x0的点列{xk}，恒有Axk?Ax0。
1）?3）。设y?A(D?B(x0,?))，则必有x?D?B(x0,?)，且Ax?y。由A在x0处连续????0，???0，当x?B(x0,?)时，y?Ax?B(Ax0,?)。所以A(D?B(x0,?))?B(Ax0,?)。 3）?1）。由算子连续性的定义显然成立。
?1?1?1y)?T(Tx),Ty?x,Ty。所以T也
?1?1?1求出M上投影算子的具体形式。 解
：
x??x,ekek??x,e2ke2k??x,e2k?1e2k?1k?1k?1k?1???第 三 节
。
显
然
2． 设A:D??1在D上F－可微，x0?D，证明A?在x0处连续等价于：对
任何??0，存在??0，当h??，k??时
?k?1?x,e2ke2k?M，所以Px??x,e2ke2k。
k?1?A(x0?h)?A(x0?k)?A?(x0)(h?k)??h?k。
证明：A?在x0处连续????0，???0，当h??时，有
第 四 章
第 一 节
1． 设D是?的子集，A:D??1，x0?D，证明下述条件等价：
1）A在x0处连续；
2）对D中任何收敛于x0的点列{xk}，恒有Axk?Ax0； 3）对任何??0，存在??0，使A(D?B(x0,?))?B(Ax0,?)。
A?(x0?h)?A?(x0)??。此外当h??，k??，t?[0,1]时，th?(1?t)k??。从而有：???0，???0，当h??，k??，t?[0,1]时，有A?(x0?th?(1?t)k)?A?(x0)??。
A(x0?h)?A(x0?k)?A?(x0)(h?k) ?17
?A?(x010?th?(1?t)k)(h?k)dt??A?(x0)(h?k)dt
01??0?A?(x0?th?(1?t)k)?A?(x0)?(h?k)dt1?A?(x0?th?(1?t)k)?A?(x0)?h?k
有f(t,u)?f(t,u?)??。由xk?x0??N0?0，当k?N0时，u?u???时，有xk?x??。由此
可知：???0，?N0?0，当k?N0，有f(t,xk(t))?f(t,x(t))??。 则
??h?k
第 五 节
1． 设f(t,u)在[?1,1]?[?1,1]上连续，且maxf(t,u)?1。证明
t,u?[?1.1](Axk)(t)?(Ax)(t)??dx(t)?f(t,x(t))? ?dt??x(0)?0在[?1,1]上必有连续可微解。
证明：略。（方法同下题，并可参考P152页例2。）
2． 设f(t,u)在[0,1]?[0,1]上非负连续，且maxf(t,u)?1，证明积分方程
t,u?[0,1]?t0f(s,xk(s))?f(s,x(s))??f(s,xk(s))?f(s,x(s))??。
01所以Axk?Ax0，这表明A是连续的。
综上所述，由Leray-Schauder不动点原理可知：积分方程在[0,1]上必有连续解。
x(t)??f(s,x(s))ds
0t在[0,1]上必有连续解。
证明：令D?{x?C[0,1]|x?1，且x非负}。显然D是非空有界闭凸集。 则(Ax)(t)?为(Ax)(t)?tt?t00f(s,x(s))ds?max?f(s,x(s))ds?1。则A:D?D
t?[0,1]0?f(s,x(s))ds。
下面要证A是全连续的，为此要证A是紧算子且连续。首先来说明它是紧算子。 实际上由于D?C[0,1]有界，则只要说明A(D)有界且是等度连续的即可。 由于D有界，则A(D)?D有界，所以A(D)有界。
???0，取???，则当t?t???时，对一切x?D有： (Ax)(t)?(Ax)(t?)??t?tf(s,x(s))ds?t?t?????。所以A(D)是等度连续
的。由以上两个方面可知，A是紧算子。最后来说明A是连续的。 设{xk}?D，且xk?x0，只要能说明Axk?Ax0即可。
???0，由f(t,u)在[0,1]?[0,1]上连续知：???0，当t,u,u??[0,1]，且
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