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大学物理课后答案
微积分在力学解题中的运用
微积分是大学物理学习中应用很多的一种数学运算,在力学中较为突出,也是初学大学物理课程时遇到的一个困难．要用好微积分这个数学工具,首先应在思想上认识到物体在运动过程中,反映其运动特征的物理量是随时空的变化而变化的．一般来说,它们是时空坐标的函数．运用微积分可求得质点的运动方程和运动状态．这是大学物理和中学物理最显著的区别．例如通过对质点速度函数中的时间t 求一阶导数就可得到质点加速度函数．另外对物理量数学表达式进行合理变形就可得出新的物理含义．如由dv?adt,借助积分求和运算可求得在t1 -t2 时间内质点速度的变化；同样由dr?vdt也可求得质点的运动方程．以质点运动学为例,我们可用微积分把运动学问题归纳如下：
第一类问题：已知运动方程求速度和加速度；
第二类问题：已知质点加速度以及在起始状态时的位矢和速度,可求得质点的运动方程．
在力学中还有很多这样的关系,读者不妨自己归纳整理一下,从而学会自觉运用微积分来处理物理问题,运用时有以下几个问题需要引起大家的关注：
(1) 运用微积分的物理条件．在力学学习中我们会发现,v?v0?atvt12和r?v0t?at等描述质点运动规律的公式,只是式?vdv??0adt和式
02?r0dr???v0?at?dt在加速度a为恒矢量条件下积分后的结果．
0t此外,在高中物理中只讨论了一些质点在恒力作用下的力学规律
和相关物理问题,而在大学物理中则主要研究在变力和变力矩作用下的力学问题,微积分将成为求解上述问题的主要数学工具．
(2) 积分运算中的分离变量和变量代换问题．以质点在变力作用下作直线运动为例,如已知变力表达式和初始状态求质点的速率,求解本问题一条路径是：由F ＝m a 求得a的表达式,再由式dv ＝ adt
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通过积分运算求得v,其中如果力为时间t 的显函数,则a ＝a(t),此时可两边直接积分,即?vdv??0a?t?dt；但如果力是速率v 的显函数,则a ＝
0vta(v),此时应先作分离变量后再两边积分,即?v位置x 的显函数,则a＝a(x),此时可利用v?vx00v0t1dv??dt；又如力是0a?v?dxdx得dt?,并取代原式中dtv的dt,再分离变量后两边积分,即?vvdv??xa?x?dt, 用变量代换的方法可求得v(x)表达式,在以上积分中建议采用定积分,下限为与积分元对应的初始条件,上限则为待求量．
第一章 质点运动学
1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为x?2?6t2?2t3,
式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求：
(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t＝4 s时质点的速度和加速度．
分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：Δx?xt?x0,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据
dx?0来确定其运动方向改变的时dt刻tp ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程
s??x1??x2,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用
d2x两式计算． dt2dx和dt解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小
Δx?x4?x0??32m
2
(2) 由 得知质点的换向时刻为
dx?0 dttp?2s (t＝0不合题意)
则
Δx1?x2?x0?8.0m
Δx2?x4?x2??40m
所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为
s?Δx1?Δx2?48m
(3) t＝4.0 s时
v?dx??48m?s?1 dtt?4.0sd2xa?2??36m.s?2 dtt?4.0s
1 -9 质点的运动方程为
x??10t?30t2 y?15t?20t2
式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．
试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向． 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．
解 (1) 速度的分量式为
vx?dx??10?60t dtdyvy??15?40t
dt22当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ-1 , voy ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为
v0?v0x?v0y?18.0m?s?1
设vo与x 轴的夹角为α,则
tanα?v0yv0x3?? 23
α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为
ax?dvdvx?60m?s?2 , ay?y??40m?s?2
dtdt则加速度的大小为
a?ax?ay?72.1m?s?2
22设a 与x 轴的夹角为β,则
tanβ?ay2?? ax3β＝-33°41′(或326°19′)
1 -13 质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为m·ｓ-2 ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．
分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由a?dvdx和v?可得dtdtd2r2π2π2π2πa?2??R()2sinti?R()2costj?(?0.03π2m?s?2)i dtTTTT如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或dv?adt和dx?vdt．
v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．
解 由分析知,应有
?vv0dv??adt
0t得 v?4t?t3?v0
(1)
由
13?dx??vdt
x00xt得 x?2t2?14t?v0t?x0 (2) 12将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ-1代入(1) (2)得v0＝-1 m·ｓ-1,x0＝
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