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数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1.向量：既有大小又有方向的量。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如AB,a的模分别记作|AB|和|a|。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量
(1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，
零向量a＝0?｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）
(2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量?|a0|?1。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a的单位向量为：
ea?a|a|
???(3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.
??记作a∥b。
规定：0与任何向量平等，
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何
中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
（4）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作?a。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②
????a?(?a)?0?(?a)=a； ③； ④若a、b是互
???????为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0。
??（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为a?b。相等向量
??经过平移后总可以重合。
2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法
（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法
设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC。
?????规定：0?a?a?0?a；
（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的
起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。 注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB?BC?CD??PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”。
（3）向量加法的运算律：
①交换律：a?b?b?a ②结合律：(a?b)?c?a?(a?c) 2.法向量的减
（1） 定义：若a?x?b则向量x叫做a与b的差，记为b?a。求两
个向量差的运算，叫做向量的减法。 （2） 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边
形法则”
① 三角形法则：当a,b有共同起点时，a?b表示为从减向
??量b的终点指向被减向量a的终点的向量。
C ② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量a?b是如图所示的对角线。设AB?a,AC?b则b?B Aa-b=AB?AC?CB. a3.实数与向量的积 （1）
定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长
?度与方向规定如下：
?① ?a????a；
② 当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与
???a的方向相反；当??0时，?a?0，方向是任意的。 （2） 数乘向量的运算律
① ?(?a)?(??)a；②(???)a??a??a；③?(a?b)??a??b。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ
?2
?使a=
?λ1e1+λ2e2.
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
??????2.向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作OA?a，OB?b，则∠AOB
?????＝?，叫向量a、b的夹角，当?=0°，a、b同向，当?=180°，a、?????b反向，当?=90°，a与b垂直，记作a⊥b。
3.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a的横坐标，y叫做作纵坐标。
规定：
① i?(1,0)，j?(0,1)
② 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； ③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关 4.平面向量的坐标运算：
①若a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b??x1?x2,y1?y2?； ②若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?； ③若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)；