发布时间 : 星期六 文章高考二轮专题七 思想方法专题-分类讨论思想 - 图文更新完毕开始阅读a0c4ece479563c1ec4da7168
.. 专题七:思想方法专题第三讲 分类讨论思想
【思想方法诠释】
1.分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.
2.分类讨论的常见类型:
(1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身就是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.
(3)由数学运算引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等.
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等.
(5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.
3.分类讨论的一般流程:
【核心要点突破】
要点考向1:根据数学概念的要求分类讨论(概念型)
例1:设0
注:本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论,我们称为概念分类型.由概念内涵分类的还有很多,如绝对值:|a|的定义分为a>0、a<0、a=0三种情况;直线的斜率分为:倾斜角倾斜角
,斜率不存在;指数、对数函数:
与
,斜率k存在,
,可分为
.. 两种类型;直线的截距式分:直线过原点时为y=kx,不过原点时为
要点考向2:根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论
例2:设等比数列{a n}的公比为q ,前n项和S n>0(n =1 , 2 , 3 ,?). (1)求q的取值范围; (2)设b n= a n+2 -
等.
3a n+1 ,记{b n}的前n项和为T n ,试比较S n与T n的大小 . 2思路精析:要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时,由于公式的要求,分q=1和q≠1两种情况
注:(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,这时要小心,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
(2)分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零,是正数,还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题、差值比较中的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.
(3)在构建数学模型解决实际问题的过程中,往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论,特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想,解题目时要注意分类的原则是“不重不漏”.
要点考向3:根据字母的取值情况分类讨论
例3:设函数f(x)=ax-2x+2,对于满足1
2121【解析】当a>0时,f(x)=a(x-)+2-
aa?1?1?11??4?≤1?a??≥4∴ ?a或?或?a
11?f()=2??0?f(4)=16a?8?2≥0??f(1)=a?2?2≥0??a?a.. ∴ a≥1或
11; 22[来源:Z&xx&k.Com]?f(1)=a?2?2≥0当a<0时,?,解得φ;
f(4)=16a?8?2≥0?
当a=0时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意
注:题目中含有参数的问题(含参数型),主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)对于解析式系数是参数的函数,求最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.
要点考向4:根据图形位置或形状变动分类讨论
例4:在xoy平面上给定曲线y=2x,设点A(a,0),a∈R,曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a),求f(a)的函数表达式。
2
注:一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中敬意的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.已知双曲线的渐近线方程为
,则双曲线的离心率为( )
2.已知函数的定义域的R,则实数a的取值范围是( )
..
3.正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为2和4的矩形,则它的体积为( )
4.“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
5.对任意两实数a、b,定义运算“*”如下:a*b=为( )
,则函数的值域
6.如图所示,在△AOB中,点A(2,1),B(3,0),点E在射线OB上自O开始移动.设OE=x,过E作OB的垂线l,记△AOB在直线l左边部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )
二、填空题(每小题6分,共18分) 7.设点,且
为椭圆
,则
的两个焦点.P为椭圆上一点.已知P,
的值为
是一个直角三角形的三个顶
8.过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1作切线,所得切线方程是__________.
9.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b、c,则方程x2+bx+c=0有实根的概率为________.