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中北大学2010届毕业设计说明书
?(xr,m?)可按以下方案进行： 求p根据给定的离散值h(nd)，应用内插函数，得到在xr轴上连续取值的h(xr)，再根
?(xr,m?)。按内插的定义，若?(xr)为内插函数，则此时的h(xr)为： 据式(2.21)求出ph(xr)?[?h(nd)?(xr?nd)]*?(xr)?{[h(nd)]}*?(xr) (式2.23)
n??NN常用的内插方式有紧邻内插和线性内插。
对于紧邻内插，其内插函数为：
1,xr?d/2 ?(xr)? 0.5,x?d/2 r (式2.24)
对于线性内插，其内插函数为： 0,xr?d/2 1?xr/d,xr?d (式2.25)
0, x ? d r
?(xr)?于是对于R-L滤波函数，如将hR?L(nd)的离散表示进行线性内插，则得另一连续的空域函数hR?L(xr)。后者可说是hR?L(xr)的一次近似，其图形示如图2.9所示。
图2.9 hR?L(nd)经线性内插后的特性hR?L(xr)
对于S-L滤波函数，如将hS?L(nd)的离散表示进行线性内插，则得另一连续的空域
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函数hS?L(xr)。其解析表达式为：
hS?L(xr)?[hS?L(xr)其图形示如图2.10所示。
?(x?n????r?nd)*?(xr)] (式2.26)
图2.10 hS?L(nd)经线性内插后的特性hS?L(xr)
2.3.3 滤波反投影重建算法的计算机实现步骤
记平移采样点数为Nt，例如取Nt?256取平移采样间隔?xr?d，xr?nd，xr为旋转坐标。记角度方向采样点数(投影数)为N?，例如取N??180，角度增量为
??????/N?，则有??m?。指定图像画面的像素为N?N。像素位置记为(i,j)，i为像素在x方向的坐标，j为像素在y方向的坐标。i，j的最小值均为1，即左下角的像素坐标为(1,1) 。
首先进行卷积计算步骤。由于数据采集在空间是离散的，经A/D变换后幅值也离散，故应进行离散卷积。
设在某一旋转角?m时，采得投影p(xr,?m)。滤波函数为h(xr),则滤波后的投影
?(xr,?m)的求解变为： p?(n,m)?p(n,m)?h(n)?p?l??NNlp(n?l,m)h(l) (式2.27)
l滤波函数总是对称的，理论上为无限长，实际上只能取有限长，例如取511点，即
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在中点两边各取255点。换言之，在.255至+255间各点上取值。目前的CT装置都用硬件来实现式(2.26)的线性卷积，求和的极限中Nl?255，即取l??255至l??255。p(n)只在n?0~255间取值是不够的，要用到n??255~?1及n?256~510间的p(n)值。可按以下方法扩充：在n??255~?1间补以p'?p(0)?p(1)2，在n?256~510间补以
p''?p(254)?p(255)2。于是，式(2.26)变为
?(n,m)?p?(n)?pl?255??255p(n?l)h(l),n?0,1,2,...,255 (式2.28)
为便于计算机实现，避免负的地址值，可将式(2.27)变换为：
?(n)??p(n?l'?256)h(l'?256) (式2.29) pl'?1511然后进行射束计算与内插步骤。图像重建中，内插是重要的一环，射束计算的目的
?(n,m)，然后进行是为了内插。目前CT中常用的内插方式是先得到滤波后的投影数据p?(xr,m)?p?(n,m)*?(xr)。对于空问某点(xi,yi)，在某一视角线性内插，求得p???m?m?必有一个xr,m随之而定，即
xr,m?xicos??yisin? (式2.30)
由于(xi,yi)是空间中任一点像素坐标，故按式(2.29) )算得的xr,m并不正好为d的整数倍，它可能位于n0d与(n0?1)d之间，即：
xr,m?(n0??)d,0???1 (式2.31) 这就需要进行内插。这里直接给出射束计算与内插的结果，推导过程从略。
xr?xicos??yisin??(i?N?1N?1)cos??(j?)sin? (式2.32) 22?r表示，有： 如以x?r?xr?xM?12?(i?N?1N?1M?1)cos??(j?)sin??
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?整数(n0)+小数(?) (式2.33)
M为平行射束的数目，式中N同图像像素N?N中的N，n0即为所求的射束编号，
?r位于第n0号射束与(n0?1)号射束之间，与n0号射束相距?。 相应于(xi,yi)的x最后进行反投影重建步骤。直接给出反投影法重建任意点(x,y)处的图像最终结果为：
?[x?r,m(i,j),m?] (式2.34) t(i,j)??pm?1N?再记
?[x?r,m(i,j),m'?] (式2.35) tm(i,j)??p'm'm?1注意到：
t0(i,j)?0
则可用下列递推公式用来计算式(2.33) [11,12]：
?[x?r,m(i,j),m?] (式2.36) tm(i,j)?tm?1(i,j)?p其中m?1,2,...,N? 2.4 重建结果与分析
为了对算法进一步的此验证，本文利用了图2.11所示的原始图像来进行模拟实验,对该原始图像进行投影，利用所得的投影数据进行图像重建。该图像为已经过计算机采集所得的离散数字图像，大小为64?64。
图2.11 64?64原始图像
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